vd1. cho các số thực dương thỏa mãn abc=1, cmr
$(a-1-\frac{1}{b})(b-1-\frac{1}{c})(c-1-\frac{1}{a})\leq 1$
giải
đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$ (x,y,z là các số thực dương)
đpcm $\Leftrightarrow \frac{(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)}{xyz}\leq 1\Leftrightarrow (x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)\leq xyz$ (*)
đặt $x=m+n,y=n+p,z=p+m$
khi đó (*) $(m+n)(n+p)(p+m)\geq 8mnp$
áp dụng bđt cachy
$\left\{\begin{matrix} m+n\ge2\sqrt{mn}\\ p+n\ge2\sqrt{pn} \\ m+p\ge2\sqrt{pm} \end{matrix}\right.$
nhân vế với vế ta có đpcm
vd2. cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1, cmr
$\frac{a}{b^3+2}+\frac{b}{c^3+2}+\frac{c}{a^3+2}\geq 1$
giải
đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$ (x,y,z là các số thực dương)
ta có đpcm $\sum \frac{x^4}{2zx^3+zy^3}\geq 1$
áp dụng bđt cauchy-schwarzt ta có
$VT\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{2(\sum xy^3)+\sum yx^3}$
lại có
$2(x^2+y^2+z^2)^2-(\sum x^3y)=(x^2-2xy+yz-z^2)^2+(y^2-2yz+xz-x^2)^2+(z^2-2zx+xy-y^2+yz)^2\geq 0\Leftrightarrow \sum x^3y\leq \frac{1}{3}(x^2+y^2+z^2)^2$
tương tự ta có
$2(xy^3+yz^3+zx^3)+x^3y+y^3z+z^3x\leq(x^2+y^2+z^2)^2$
suy ra đpcm
dấu = xảy ra khi a=b=c=1
bài toán mở cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1, tìm k để bđt sau đúng
$\frac{a}{2+b^k}+\frac{b}{2+c^k}+\frac{c}{2+a^k}$
vd3. cho a,b,c là các số thực dương thỏa abc=1. cmr
$\frac{a^2}{(a-1)^2}+\frac{b^2}{(b-1)^2}+\frac{c^2}{(c-1)^2}\geq1$
đặt $x=\frac{a}{a-1},b=...,c=...$
suy ra $(x-1)(y-1)(z-1)=xyz$
$\Leftrightarrow x+y+z-1=xy+yz+zx$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=(x+y+z-1)62+1\geq1$
ta có đpcm
vd4. cho a,b,c là số thực dương thỏa mãn abc=1, cmr
$\frac{a}{(a+1)^2}+\frac{b}{(b+1)^2}+\frac{c}{(c+1)^2}-\frac{4}{(1+a)(1+b)(1+c)}\leq\frac{1}{4}$
(đặt $x=\frac{1-a}{1+a},y=...,z=...$)
vd5. cho x,y,z là cá số thực khác 1 thỏa mãn xyz=1, cmr
$\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)}^2+\frac{z^2}{(z-1)^2}\geq1$
vd6. cho các số thực x,y,z khác -1 thỏa mãn xyz=8 , cmr
$\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2}\geq\frac{1}{3}$
