cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1 chứng minh rằng:
$\frac{a}{(a+3)^{2}}+\frac{b}{(b+3)^{2}}+\frac{c}{(c+3)^{2}}\leq \frac{3}{16}$
cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1 chứng minh rằng:
$\frac{a}{(a+3)^{2}}+\frac{b}{(b+3)^{2}}+\frac{c}{(c+3)^{2}}\leq \frac{3}{16}$
Điều quan trọng là đừng bao giờ bỏ cuộc. Đừng lo sợ sự chậm trễ mà hãy lo sợ khi dừng lại. - Kim Nan Do
Áp dụng BĐT $(x+y)^2 \geq 4xy$
$\frac{a}{(a+3)^2}=\frac{a}{[(a+1)+2]^2} \leq \frac{a}{8(a+1)}$
Tương tự, ta có BĐT sau:
$\frac{a}{(a+3)^2}+\frac{b}{(b+3)^2}+\frac{c}{(c+3)^2} \leq \frac{a}{8(a+1)} + \frac{b}{8(b+1)}+ \frac{c}{8(c+1)}$
Ta cần chứng minh: $\frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1}+ \frac{c}{c+1} \leq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow ab+bc+ca \leq a+b+c$ (đúng)
Bạn có thể xem cách chứng minh BĐT trên ở http://diendantoanho...-abcgeq-abacbc/
Trong bài này, điều kiện là $ab+bc+ca+abc \geq 4$ nhưng cách chứng minh vẫn tương tự.
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Thi Thuy Nhung: 06-08-2015 - 16:45
Áp dụng BĐT $(x+y)^2 \geq 4xy$
$\frac{a}{(a+3)^2}=\frac{a}{[(a+1)+2]^2} \leq \frac{a}{8(a+1)}$
Tương tự, ta có BĐT sau:
$\frac{a}{(a+3)^2}+\frac{b}{(b+3)^2}+\frac{c}{(c+3)^2} \leq \frac{a}{8(a+1)} + \frac{b}{8(b+1)}+ \frac{c}{8(c+1)}$
Ta cần chứng minh: $\frac{a}{8(a+1)} + \frac{b}{8(b+1)}+ \frac{c}{8(c+1)} \leq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow ab+bc+ca \leq a+b+c$ (đúng)
Bạn có thể xem cách chứng minh BĐT trên ở http://diendantoanho...-abcgeq-abacbc/
Trong bài này, điều kiện là $ab+bc+ca+abc \geq 4$ nhưng cách chứng minh vẫn tương tự.
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
tại sao a+b+c$\geq$ab+bc+ca là đúng
điều kiện là abc=1 cơ mà
Điều quan trọng là đừng bao giờ bỏ cuộc. Đừng lo sợ sự chậm trễ mà hãy lo sợ khi dừng lại. - Kim Nan Do
Ta có: $ab+bc+ca+abc \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+abc=4$
$\Leftrightarrow c(a+b+ab) \geq 4-ab$
$\Leftrightarrow c \geq \frac{4-ab}{a+b+ab}\ (1)$
Trong 3 số $a-1, b-1, c-1$ có 2 số có tích không âm. Giả sử $(a-1)(b-1) \geq 0$
$\Leftrightarrow c(a-1)(b-1) \geq 0$
$abc+c \geq ac+bc\ (2)$
Từ (1) và (2) có:
$ab+bc+ca \leq ab+(ab+1)\frac{4-ab}{a+b+ab}$
Ta cần cm: $ ab+(ab+1)\frac{4-ab}{a+b+ab} \leq a+b+c$
$\Leftrightarrow ab+(ab+1)\frac{4-ab}{a+b+ab} \leq a+b+\frac{4-ab}{a+b+ab}$
$\Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0$ (đúng)
Ta có đqcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Thi Thuy Nhung: 06-08-2015 - 16:39
đk là abc=1
abc=1 thì sao hả bạn? Ta đã sử dụng điều kiện này ở BĐT $ab+bc+ca+abc \geq 4$
BĐT cần chứng minh tương đương với $\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1} \leq \frac{3}{2}$
Biến đổi tương đương cho ta BĐT là $a+b+c \geq ab+bc+ca$
Chứng minh được BĐT trên suy ra BĐT đầu là đúng, ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Thi Thuy Nhung: 06-08-2015 - 20:45
nhưng ở bài này có cho đk này đâu
thử bộ số a=0,1 b=0,2 c=0,3 khong thoa man dk $ab+bc+ca+abc\geq 4$
Điều quan trọng là đừng bao giờ bỏ cuộc. Đừng lo sợ sự chậm trễ mà hãy lo sợ khi dừng lại. - Kim Nan Do
nhưng ở bài này có cho đk này đâu
thử bộ số a=0,1 b=0,2 c=0,3 khong thoa man dk $ab+bc+ca+abc\geq 4$
Áp dụng BĐT $(x+y)^2 \geq 4xy$
$\frac{a}{(a+3)^2}=\frac{a}{[(a+1)+2]^2} \leq \frac{a}{8(a+1)}$
Tương tự, ta có BĐT sau:
$\frac{a}{(a+3)^2}+\frac{b}{(b+3)^2}+\frac{c}{(c+3)^2} \leq \frac{a}{8(a+1)} + \frac{b}{8(b+1)}+ \frac{c}{8(c+1)}$
Ta cần chứng minh: $\frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1}+ \frac{c}{c+1} \leq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow ab+bc+ca \leq a+b+c$ (đúng)
Bạn có thể xem cách chứng minh BĐT trên ở http://diendantoanho...-abcgeq-abacbc/
Trong bài này, điều kiện là $ab+bc+ca+abc \geq 4$ nhưng cách chứng minh vẫn tương tự.
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
Một ví dụ thuyết phục hơn là : với $a=2;b=6;c=\frac{1}{12}$ thì $abc=1$ nhưng $a+b+c<ab+bc+ca$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 07-08-2015 - 21:30
nhưng ở bài này có cho đk này đâu
thử bộ số a=0,1 b=0,2 c=0,3 khong thoa man dk $ab+bc+ca+abc\geq 4$
0,1.0,2.0,3 khác 1 bạn nhé!
Một ví dụ thuyết phục hơn là : với $a=2;b=6;c=\frac{1}{12}$ thì $abc=1$ nhưng $a+b+c<ab+bc+ca$
Cảm ơn bạn đã phát hiện lỗi sai. Mình sẽ xem lại.
cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1 chứng minh rằng:
$\frac{a}{(a+3)^{2}}+\frac{b}{(b+3)^{2}}+\frac{c}{(c+3)^{2}}\leq \frac{3}{16}$
Bài này lâu rồi hình như vẫn chưa ai post lời giải
$đặt a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$
do đó ta cần chứng minh :
$\sum \frac{xy}{(x+3y)^{2}}\leq \frac{3}{16}$
$\Leftrightarrow \sum (1-\frac{6xy}{(x+3y)^{2}})\geq \frac{15}{8} \Leftrightarrow \sum (\frac{x^{2}+9y^{2}}{(x+3y)^{2}})\geq \frac{15}{8}$
$\Leftrightarrow \sum (\frac{x}{x+3y})^{2} + 9\sum (\frac{y}{x+3y})^{2} \geq \frac{3}{16}$
nên ta chỉ cần chứng minh : $\sum (\frac{x}{x+3y})^{2}$ $\geq \frac{3}{16}$
có : $\sum (\frac{x}{x+3y})^{2}$ $\geq \frac{1}{3}(\sum \frac{x}{x+3y})^{2}$
nên cần chứng minh : $\sum \frac{x}{x+3y}\geq \frac{3}{4}$
quy đồng mẫu ta được : $5\sum x^{2}y + 3\sum x^{2}z \geq 24xyz$
BĐt đúng !!!!
$đặt a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$
do đó ta cần chứng minh :
$\sum \frac{xy}{(x+3y)^{2}}\leq \frac{3}{16}$
$\Leftrightarrow \sum (1-\frac{6xy}{(x+3y)^{2}})\geq \frac{15}{8} \Leftrightarrow \sum (\frac{x^{2}+9y^{2}}{(x+3y)^{2}})\geq \frac{15}{8}$
$\Leftrightarrow \sum (\frac{x}{x+3y})^{2} + 9\sum (\frac{y}{x+3y})^{2} \geq \frac{3}{16}$
nên ta chỉ cần chứng minh : $\sum (\frac{x}{x+3y})^{2}$ $\geq \frac{3}{16}$
có : $\sum (\frac{x}{x+3y})^{2}$ $\geq \frac{1}{3}(\sum \frac{x}{x+3y})^{2}$
nên cần chứng minh : $\sum \frac{x}{x+3y}\geq \frac{3}{4}$
quy đồng mẫu ta được : $5\sum x^{2}y + 3\sum x^{2}z \geq 24xyz$
BĐt đúng !!!!
Bạn có thể giải thích khúc "nên ta chỉ cần chứng minh : $\sum (\frac{x}{x+3y})^{2}$ $\geq \frac{3}{16}$" được không ?
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh