Đến nội dung

Hình ảnh

chứng minh rằng$\frac{a}{(a+3)^{2}}+\frac{b}{(b+3)^{2}}+\frac{c}{(c+3)^{2}}\leq \frac{3}{16}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
tien123456789

tien123456789

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 116 Bài viết

cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1 chứng minh rằng:

$\frac{a}{(a+3)^{2}}+\frac{b}{(b+3)^{2}}+\frac{c}{(c+3)^{2}}\leq \frac{3}{16}$


Điều quan trọng là đừng bao giờ bỏ cuộc. Đừng lo sợ sự chậm trễ mà hãy lo sợ khi dừng lại. - Kim Nan Do


#2
Nguyen Thi Thuy Nhung

Nguyen Thi Thuy Nhung

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

Áp dụng BĐT $(x+y)^2 \geq 4xy$

$\frac{a}{(a+3)^2}=\frac{a}{[(a+1)+2]^2} \leq \frac{a}{8(a+1)}$

Tương tự, ta có BĐT sau:

$\frac{a}{(a+3)^2}+\frac{b}{(b+3)^2}+\frac{c}{(c+3)^2} \leq \frac{a}{8(a+1)} + \frac{b}{8(b+1)}+ \frac{c}{8(c+1)}$

Ta cần chứng minh: $\frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1}+ \frac{c}{c+1} \leq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow  ab+bc+ca \leq a+b+c$ (đúng)

Bạn có thể xem cách chứng minh BĐT trên ở http://diendantoanho...-abcgeq-abacbc/

Trong bài này, điều kiện là $ab+bc+ca+abc \geq 4$ nhưng cách chứng minh vẫn tương tự.

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Thi Thuy Nhung: 06-08-2015 - 16:45


#3
tien123456789

tien123456789

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 116 Bài viết

Áp dụng BĐT $(x+y)^2 \geq 4xy$

$\frac{a}{(a+3)^2}=\frac{a}{[(a+1)+2]^2} \leq \frac{a}{8(a+1)}$

Tương tự, ta có BĐT sau:

$\frac{a}{(a+3)^2}+\frac{b}{(b+3)^2}+\frac{c}{(c+3)^2} \leq \frac{a}{8(a+1)} + \frac{b}{8(b+1)}+ \frac{c}{8(c+1)}$

Ta cần chứng minh: $\frac{a}{8(a+1)} + \frac{b}{8(b+1)}+ \frac{c}{8(c+1)} \leq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow  ab+bc+ca \leq a+b+c$ (đúng)

Bạn có thể xem cách chứng minh BĐT trên ở http://diendantoanho...-abcgeq-abacbc/

Trong bài này, điều kiện là $ab+bc+ca+abc \geq 4$ nhưng cách chứng minh vẫn tương tự.

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

tại sao a+b+c$\geq$ab+bc+ca là đúng 

điều kiện là abc=1 cơ mà


Điều quan trọng là đừng bao giờ bỏ cuộc. Đừng lo sợ sự chậm trễ mà hãy lo sợ khi dừng lại. - Kim Nan Do


#4
Nguyen Thi Thuy Nhung

Nguyen Thi Thuy Nhung

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

Ta có: $ab+bc+ca+abc \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+abc=4$

$\Leftrightarrow c(a+b+ab) \geq 4-ab$

$\Leftrightarrow c \geq \frac{4-ab}{a+b+ab}\ (1)$

Trong 3 số $a-1, b-1, c-1$ có 2 số có tích không âm. Giả sử $(a-1)(b-1) \geq 0$

$\Leftrightarrow c(a-1)(b-1) \geq 0$

$abc+c \geq ac+bc\ (2)$

Từ (1) và (2) có:

$ab+bc+ca \leq ab+(ab+1)\frac{4-ab}{a+b+ab}$

Ta cần cm: $ ab+(ab+1)\frac{4-ab}{a+b+ab} \leq a+b+c$

$\Leftrightarrow ab+(ab+1)\frac{4-ab}{a+b+ab} \leq a+b+\frac{4-ab}{a+b+ab}$

$\Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0$ (đúng)

Ta có đqcm. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Thi Thuy Nhung: 06-08-2015 - 16:39


#5
Nguyen Thi Thuy Nhung

Nguyen Thi Thuy Nhung

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

đk là abc=1

abc=1 thì sao hả bạn? Ta đã sử dụng điều kiện này ở BĐT $ab+bc+ca+abc \geq 4$ 

BĐT cần chứng minh tương đương với $\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1} \leq \frac{3}{2}$

Biến đổi tương đương cho ta BĐT là $a+b+c \geq ab+bc+ca$

Chứng minh được BĐT trên suy ra BĐT đầu là đúng, ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Thi Thuy Nhung: 06-08-2015 - 20:45


#6
tien123456789

tien123456789

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 116 Bài viết

nhưng ở bài này có cho đk này đâu 

thử bộ số a=0,1 b=0,2 c=0,3 khong thoa man dk $ab+bc+ca+abc\geq 4$


Điều quan trọng là đừng bao giờ bỏ cuộc. Đừng lo sợ sự chậm trễ mà hãy lo sợ khi dừng lại. - Kim Nan Do


#7
phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết

nhưng ở bài này có cho đk này đâu 

thử bộ số a=0,1 b=0,2 c=0,3 khong thoa man dk $ab+bc+ca+abc\geq 4$

 

Áp dụng BĐT $(x+y)^2 \geq 4xy$

$\frac{a}{(a+3)^2}=\frac{a}{[(a+1)+2]^2} \leq \frac{a}{8(a+1)}$

Tương tự, ta có BĐT sau:

$\frac{a}{(a+3)^2}+\frac{b}{(b+3)^2}+\frac{c}{(c+3)^2} \leq \frac{a}{8(a+1)} + \frac{b}{8(b+1)}+ \frac{c}{8(c+1)}$

Ta cần chứng minh: $\frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1}+ \frac{c}{c+1} \leq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow  ab+bc+ca \leq a+b+c$ (đúng)

Bạn có thể xem cách chứng minh BĐT trên ở http://diendantoanho...-abcgeq-abacbc/

Trong bài này, điều kiện là $ab+bc+ca+abc \geq 4$ nhưng cách chứng minh vẫn tương tự.

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

 

 

Một ví dụ thuyết phục hơn là : với $a=2;b=6;c=\frac{1}{12}$ thì $abc=1$ nhưng $a+b+c<ab+bc+ca$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 07-08-2015 - 21:30


#8
Nguyen Thi Thuy Nhung

Nguyen Thi Thuy Nhung

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

nhưng ở bài này có cho đk này đâu 

thử bộ số a=0,1 b=0,2 c=0,3 khong thoa man dk $ab+bc+ca+abc\geq 4$

 

0,1.0,2.0,3 khác 1 bạn nhé! :)

 

 

 

 

Một ví dụ thuyết phục hơn là : với $a=2;b=6;c=\frac{1}{12}$ thì $abc=1$ nhưng $a+b+c<ab+bc+ca$

 

 

Cảm ơn bạn đã phát hiện lỗi sai. Mình sẽ xem lại. :)



#9
thinhrost1

thinhrost1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1 chứng minh rằng:

$\frac{a}{(a+3)^{2}}+\frac{b}{(b+3)^{2}}+\frac{c}{(c+3)^{2}}\leq \frac{3}{16}$

Bài này lâu rồi hình như vẫn chưa ai post lời giải

Đặt $a=\frac1x, b=\frac1y, c=\frac1z \implies xyz=1$
Bất đẳng thức trở thành
\[\frac{x}{(3x+1)^2}+\frac{y}{(3y+1)^2}+\frac{z}{(3z+1)^2}\le \frac3{16}\]
Tương đương
\[\sum_{cyc}\left(\frac1{12}-\frac{x}{(3x+1)^2}\right) \ge \frac1{16} \iff \sum_{cyc}\frac{(3x-1)^2}{(3x+1)^2} \ge \frac34\]
Áp dụng bất đẳng thức C-S
\[\sum_{cyc}\frac{(3x-1)^2}{(3x+1)^2} \ge \frac{9(x+y+z-1)^2}{\sum (3x-1)^2}\]
Ta chỉ cần chứng minh:
\[f(x,y,z)=3+\sum x^2+8\sum xy-10\sum x \ge 0\]
Không mất tính tổng quát giả sử $x=\max(x,y,z) \implies x \ge 1$. 
\[f(x,y,z)-f(x,\sqrt{yz},\sqrt{yz})=(\sqrt{y}-\sqrt{z})^2((\sqrt{y}+\sqrt{z})^2+8x-10) \ge 0\]
Do \[(\sqrt{y}+\sqrt{z})^2+8x \ge 4\sqrt{yz}+4x+4x \ge 8\sqrt{x\sqrt{yz}}+4x=8\sqrt[4]{x}+4x \ge 12\] 
Cần chứng minh: \[f\left(\frac1{t^2},t,t\right) \ge 0\]
Tức là
\[((3t^2-1)^2+t(1-t)+t^4+t)(t-1)^2 \ge 0\]
Ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$


#10
phanthanhtruyen

phanthanhtruyen

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết

$đặt a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$

do đó ta cần chứng minh :

$\sum \frac{xy}{(x+3y)^{2}}\leq \frac{3}{16}$ 

$\Leftrightarrow \sum (1-\frac{6xy}{(x+3y)^{2}})\geq \frac{15}{8} \Leftrightarrow \sum (\frac{x^{2}+9y^{2}}{(x+3y)^{2}})\geq \frac{15}{8}$

$\Leftrightarrow \sum (\frac{x}{x+3y})^{2} + 9\sum (\frac{y}{x+3y})^{2} \geq \frac{3}{16}$

nên ta chỉ cần chứng minh : $\sum (\frac{x}{x+3y})^{2}$ $\geq \frac{3}{16}$

có : $\sum (\frac{x}{x+3y})^{2}$ $\geq \frac{1}{3}(\sum \frac{x}{x+3y})^{2}$

nên cần chứng minh : $\sum \frac{x}{x+3y}\geq \frac{3}{4}$

quy đồng mẫu ta được : $5\sum x^{2}y + 3\sum x^{2}z \geq 24xyz$

BĐt đúng !!!!



#11
lmht

lmht

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết

$đặt a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$

do đó ta cần chứng minh :

$\sum \frac{xy}{(x+3y)^{2}}\leq \frac{3}{16}$ 

$\Leftrightarrow \sum (1-\frac{6xy}{(x+3y)^{2}})\geq \frac{15}{8} \Leftrightarrow \sum (\frac{x^{2}+9y^{2}}{(x+3y)^{2}})\geq \frac{15}{8}$

$\Leftrightarrow \sum (\frac{x}{x+3y})^{2} + 9\sum (\frac{y}{x+3y})^{2} \geq \frac{3}{16}$

nên ta chỉ cần chứng minh : $\sum (\frac{x}{x+3y})^{2}$ $\geq \frac{3}{16}$

có : $\sum (\frac{x}{x+3y})^{2}$ $\geq \frac{1}{3}(\sum \frac{x}{x+3y})^{2}$

nên cần chứng minh : $\sum \frac{x}{x+3y}\geq \frac{3}{4}$

quy đồng mẫu ta được : $5\sum x^{2}y + 3\sum x^{2}z \geq 24xyz$

BĐt đúng !!!!

Bạn có thể giải thích khúc "nên ta chỉ cần chứng minh : $\sum (\frac{x}{x+3y})^{2}$ $\geq \frac{3}{16}$" được không ?






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh