Chủ đề này có 1 trả lời

[yeutoanmaimai1]

Tìm $m$ để phương trình có 4 nghiệm p.biệt

$(x^{2}+mx+1)(x^{2}+x+m)=0$

[Truong Gia Bao]

Pt $\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x^2+mx+1=0 (1)& \\ x^2+x+m=0 (2)& \end{bmatrix}$

Pt đã cho có 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$ Pt (1) và pt (2) đều có 2 nghiệm phân biệt và nghiệm của pt (1) khác nghiệm của pt (2)

+) Pt (1) có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta _{1}=m^2-4>0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} m>2 & \\ m< -2& \end{bmatrix}$

+) Pt (2) có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta _{2}=1-4m> 0 \Leftrightarrow m< \frac{1}{4}$

Giả sử $x_0$ là nghiệm chung của pt (1) và (2). Khi đó ta có : $x_0^2+mx_0+1=x_0^2+x_0+m=0$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (m-1)x_0 =m-1& \\ x_0 ^2+x_0+m=0& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} m=1 & \\ x_0^2+x_0+1=0(VN)& \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} m\neq 1 & \\ x_0=1\rightarrow m=-2& \end{matrix}\right. & \end{bmatrix}$

Do đó với $m=-2$ thì pt (1) và (2) có nghiệm chung là $x_0=1$

$\rightarrow m\neq -2$ thì 2 pt ko có nghiệm chung.

Kết hợp các điều kiện trên lại suy ra $m<-2$