Đến nội dung

Hình ảnh

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x} =1$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
thanhducmath

thanhducmath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 133 Bài viết

Chứng minh : $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x} =1$



#2
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Chứng minh : $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x} =1$

Ta có:$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=\frac{0}{0}$

Áp dụng định lý L'Hopital,ta có:$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x}{1}=1$

Vậy ta có đpcm

Bổ sung: định lý L'Hopital:nếu $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0}$ hoặc $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$ thì  $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x)}{g'(x)}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 04-08-2015 - 10:20


#3
Changg Changg

Changg Changg

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

Bổ đề: $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln (1+x)}{x}=1$

Thật vậy: $\dfrac{\ln (1+x)}{x}=\ln (1+x)^{\frac{1}{x}}$

Do hàm logarite là liên tục và sử dụng định nghĩa, ta có $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln (1+x)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\ln e=1$

Bổ đề được chứng minh.

Trở lại bài toán. Đặt $x=\ln (1+t)$ thì $x\to 0\Leftrightarrow t\to 0$. Do đó: $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{e^x-1}{x}=\lim\limits_{t\to 0} \left(\dfrac{\ln (1+t)}{t}\right)^{-1}=1$



#4
quangtq1998

quangtq1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 192 Bài viết
Ta có : 
$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ f(x)}{g(x)}= $$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ f'(x)}{g'(x)}$ nếu  $f(0) = g(0) = 0 $
Thật vậy :
$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ f(x)}{g(x)}$$ = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \frac{f(x) -f(0)}{x-0}}{\frac{g(x)-g(0)}{x-0}}$$ =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ f'(x)}{g'(x)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 22-08-2016 - 15:41





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh