Chứng minh : $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x} =1$
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x} =1$
#1
Đã gửi 04-08-2015 - 09:43
#2
Đã gửi 04-08-2015 - 10:17
Chứng minh : $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x} =1$
Ta có:$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=\frac{0}{0}$
Áp dụng định lý L'Hopital,ta có:$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x}{1}=1$
Vậy ta có đpcm
Bổ sung: định lý L'Hopital:nếu $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0}$ hoặc $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$ thì $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x)}{g'(x)}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 04-08-2015 - 10:20
- thanhducmath yêu thích
#3
Đã gửi 04-08-2015 - 10:28
Bổ đề: $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln (1+x)}{x}=1$
Thật vậy: $\dfrac{\ln (1+x)}{x}=\ln (1+x)^{\frac{1}{x}}$
Do hàm logarite là liên tục và sử dụng định nghĩa, ta có $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln (1+x)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\ln e=1$
Bổ đề được chứng minh.
Trở lại bài toán. Đặt $x=\ln (1+t)$ thì $x\to 0\Leftrightarrow t\to 0$. Do đó: $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{e^x-1}{x}=\lim\limits_{t\to 0} \left(\dfrac{\ln (1+t)}{t}\right)^{-1}=1$
- thanhducmath và ineX thích
#4
Đã gửi 22-08-2016 - 15:40
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 22-08-2016 - 15:41
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh