Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Tìm đoạn $[a,b]$ lớn nhất sao cho $( x+y+z-4 )^2< xyz$ nghiệm đúng


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 kimchitwinkle

kimchitwinkle

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 525 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 04-08-2015 - 19:22

Tìm các cặp số $a,b$ thỏa mãn điều kiện $a\leq b\leq 4$ sao cho bất đẳng thức $\left ( x+y+z-4 \right )^{2}< xyz$ nghiệm đúng với mọi $x,y,z \in \left [ a;b \right ]$ và hiệu $b-a$ lớn nhất



#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 13-06-2018 - 17:59

Tìm các cặp số $a,b$ thỏa mãn điều kiện $a\leq b\leq 4$ sao cho bất đẳng thức $\left ( x+y+z-4 \right )^{2}< xyz$ nghiệm đúng với mọi $x,y,z \in \left [ a;b \right ]$ và hiệu $b-a$ lớn nhất

Sửa lại đề cho hợp lý : Sửa lại bất đẳng thức là $(x+y+z-4)^2\leqslant xyz$

--------------------------------------------------

 

Xét bất đẳng thức $(x+y+z-4)^2\leqslant xyz\ (^*)$

Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử $x\leqslant y\leqslant z$

 

Lấy số $c< 1$ tùy ý. Nhận xét rằng nếu $c\in [a;b]$ thì trong trường hợp $x=y=z=c$, ta có $(x+y+z-4)^2> 1$ và $xyz< 1$, $(^*)$ không thỏa mãn. Vậy suy ra $a\geqslant 1$

 

Bây giờ ta xét xem nếu $x=1$, $y=z=t$ thì $t$ có thể lớn nhất là bao nhiêu để $(x+y+z-4)^2=xyz$ ?

Ta có $(2t-3)^2=t^2$ $\Rightarrow t=1$ hoặc $t=3$. Vậy giá trị lớn nhất của $t$ là $3$

 

Tiếp theo, ta chứng minh bất đẳng thức $(^*)$ nghiệm đúng với mọi $x,y,z\in [1;3]$

Gọi $s=x+y+z$. Với mọi $x,y,z\in [1;3]$, ta có $s\in [3;9]$

Xét $3$ trường hợp :

1) $s\in [3;5]$

   Đặt $x=1+m$ ; $y=1+p$ ; $z=1+q$ ($0\leqslant m\leqslant p\leqslant q$, $0\leqslant m+p+q\leqslant 2$)

   Ta có $xyz=(1+m)(1+p)(1+q)\geqslant 1+m+p+q=s-2$ (dấu bằng xảy ra khi $m=p=0$)

   Mặt khác, khi $s\in [3;5]$, ta có $s^2-9s+18\leqslant 0\Leftrightarrow s-2\geqslant (s-4)^2=(x+y+z-4)^2$

   $\Rightarrow (^*)$ đúng $\forall s\in[3;5]$

2) $s\in [5;7]$

   Đặt $x=1+m$ ; $y=1+p$ ; $z=3-q$ ($0\leqslant m\leqslant p$, $0\leqslant q$, $0\leqslant m+p-q\leqslant 2$)

   + Nếu $m\leqslant q$ :

     Ta có $xyz=(1+m)(1+p)(3-q)\geqslant 1.(1+p).(3-q+m)\geqslant 1.(1+m+p-q).3=3(s-4)$

   + Nếu $m> q$ :

     Ta có $xyz=(1+m)(1+p)(3-q)\geqslant (1+m-q).(1+p).3\geqslant 1.(1+m+p-q).3=3(s-4)$

   Trong cả trường hợp, đều có $xyz\geqslant 3(s-4)$ (1)

   Mặt khác, khi $s\in [5;7]$, ta có $s^2-11s+28\leqslant 0\Leftrightarrow 3(s-4)\geqslant (s-4)^2=(x+y+z-4)^2$ (2)

     (1),(2) $\Rightarrow (^*)$ đúng $\forall s\in[5;7]$

3) $s\in [7;9]$

   Đặt $x=1+m$ ; $y=3-p$ ; $z=3-q$ ($m,p,q$ không âm ; $0\leqslant m-p-q\leqslant 2$)

   Ta có $xyz=(1+m)(3-p)(3-q)\geqslant (1+m-q).(3-p).3\geqslant (1+m-p-q).3.3=9(s-6)$ (3)

   Mặt khác, khi $s\in [7;9]$, ta có $s^2-17s+70\leqslant 0\Leftrightarrow 9(s-6)\geqslant (s-4)^2=(x+y+z-4)^2$ (4)

     (3),(4) $\Rightarrow (^*)$ đúng $\forall s\in[7;9]$

 

Cuối cùng, ta cần chứng minh, trong tất cả các đoạn $[a;b]$ thỏa mãn điều kiện đề bài thì đoạn có $b-a$ lớn nhất là đoạn $[1;3]$

Giả sử $y=z=t$ ; $x=t-2$. Ta tìm xem $t$ phải thỏa mãn điều kiện gì thì $x,y,z$ mới nghiệm đúng bất đẳng thức $(^*)$

Ta có $(x+y+z-4)^2\leqslant xyz\Leftrightarrow (3t-6)^2\leqslant t^2(t-2)\Leftrightarrow t^3-11t^2+36t-36\geqslant 0\Leftrightarrow (t-2)(t-3)(t-6)\geqslant 0$

$\Leftrightarrow 2\leqslant t\leqslant 3$ hoặc $t\geqslant 6$

Điều đó chứng tỏ nếu $3< b\leqslant 4$ thì không có đoạn $[b-2;b]$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Lưu ý thêm rằng $a\geqslant 1$, ta kết luận : đoạn $[a;b]$ thỏa mãn điều kiện đề bài và có hiệu $b-a$ lớn nhất là đoạn $[1;3]$ (cặp số cần tìm là $a=1$ ; $b=3$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 13-06-2018 - 21:03

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh