Chủ đề này có 1 trả lời

[Frankesten]

Với a,b >0 thỏa mãn: $ab \leq 4$. 

Tìm Min :$P=\frac{2}{a^4}+\frac{2}{b^4}+\frac{3}{(a-b)^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Frankesten: 05-08-2015 - 15:14

[Issac Newton of Ngoc Tao]

Ta có:

$P\geq 2(\frac{a^{4}+b^{4}}{a^{2}b^{2}.16})+\frac{3}{\frac{(a-b)^{2}.4}{ab}}= \frac{1}{8}.(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}})+\frac{3}{4(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2)}$

Đặt $t= \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\Rightarrow P\geq \frac{t^{2}}{8}+\frac{3}{4(t-2)}-\frac{1}{4}= \frac{(t-2)^{2}}{8}+\frac{3}{4(t-2)}+\frac{t-2}{2}+\frac{1}{4}$

$\geq \frac{(t-2)^{2}}{8}+\frac{1}{8(t-2)}+\frac{1}{8(t-2)}+\frac{1}{2(t-2)}+\frac{t-2}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{8^{3}}}+2\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{11}{8}$

Dấu = xảy ra khi đồng thời: $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}= 3;ab=4$$\Leftrightarrow a= 1+\sqrt{5};b=-1+\sqrt{5}$ và hoán vị