Chủ đề này có 15 trả lời

[fairytail19061]

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn:
$a+b+c=1$
Chứng minh rằng: $\sqrt{a+\frac{(b-c)^{2}}{4}}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \leq \sqrt{3}$
p/s: Lâu rồi chưa đăng bài nào

 

[Hoang Nhat Tuan]

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn:
$a+b+c=1$
Chứng minh rằng: $\sqrt{a+\frac{(b-c)^{2}}{4}}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \leq \sqrt{3}$
p/s: Lâu rồi chưa đăng bài nào

Đặt: $x=\sqrt{bc}$

Khi đó: $\sqrt{a+\frac{(b-c)^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{(1+a)^2-4x^2}$

và $\sqrt{b}+\sqrt{c}=\sqrt{1-a+2\sqrt{bc}}=\sqrt{1-a+2x}$

VT BĐT trở thành: $\frac{1}{2}(\sqrt{(1+a)^2-4x^2}+2\sqrt{1-a+2x})\leq \frac{1}{2}\sqrt{3\left [ (1+a)^2-4x^2+2(1-a+2x) \right ]}$

Cần chứng minh: 

$(1+a)^2-4x^2+2(1-a+2x)\leq 4$$<=>(1-2x-a)(1+a-2x)\geq 0$

Dễ dàng chứng minh bằng AM-GM

Thử bài này xem:

Tìm hệ số k lớn nhất sao cho:

$\sqrt{a+k(b-c)^2}+\sqrt{b+k(c-a)^2}+\sqrt{c+k(a-b)^2}\leq \sqrt{3}$

[hoctrocuaHolmes]

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn:
$a+b+c=1$
Chứng minh rằng: $\sqrt{a+\frac{(b-c)^{2}}{4}}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \leq \sqrt{3}$
p/s: Lâu rồi chưa đăng bài nào

Bài này lúc sáng thím Oanh mới đưa t coi  .Làm được rồi thì thử làm bài này đi,tương tương chút nhưng khó hơn

Cho $a,b,c$ không âm thoả mãn $a+b+c=1$.Chứng minh

$\sqrt{a+k(b-c)^{2}}+\sqrt{b+k(c-a)^{2}}+\sqrt{c+k(a-b)^{2}}\leq \sqrt{3}$ trong đó $k=1-\frac{\sqrt{3}}{2}$

[fairytail19061]

Bài này lúc sáng thím Oanh mới đưa t coi  .Làm được rồi thì thử làm bài này đi,tương tương chút nhưng khó hơn

Cho $a,b,c$ không âm thoả mãn $a+b+c=1$.Chứng minh

$\sqrt{a+k(b-c)^{2}}+\sqrt{b+k(c-a)^{2}}+\sqrt{c+k(a-b)^{2}}\leq \sqrt{3}$ trong đó $k=1-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Thế cụ làm được chưa vậy Thấy bài nào cũng làm được chắc giỏi lắm rồi nhỉ haha
Bài này có trong sách rồi mấy bạn, cần post lên ko

[Tuituki]

Đặt: $x=\sqrt{bc}$

Khi đó: $\sqrt{a+\frac{(b-c)^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{(1+a)^2-4x^2}$

và $\sqrt{b}+\sqrt{c}=\sqrt{1-a+2\sqrt{bc}}=\sqrt{1-a+2x}$

VT BĐT trở thành: $\frac{1}{2}(\sqrt{(1+a)^2-4x^2}+2\sqrt{1-a+2x})\leq \frac{1}{2}\sqrt{3\left [ (1+a)^2-4x^2+2(1-a+2x) \right ]}$

Cần chứng minh: 

$(1+a)^2-4x^2+2(1-a+2x)\leq 4$$<=>(1-2x-a)(1+a-2x)\geq 0$

Dễ dàng chứng minh bằng AM-GM

Thử bài này xem:

Tìm hệ số k lớn nhất sao cho:

$\sqrt{a+k(b-c)^2}+\sqrt{b+k(c-a)^2}+\sqrt{c+k(a-b)^2}\leq \sqrt{3}$

Sao ra đoạn này được vậy bạn? 

[fairytail19061]

Bài này lúc sáng thím Oanh mới đưa t coi  .Làm được rồi thì thử làm bài này đi,tương tương chút nhưng khó hơn

Cho $a,b,c$ không âm thoả mãn $a+b+c=1$.Chứng minh

$\sqrt{a+k(b-c)^{2}}+\sqrt{b+k(c-a)^{2}}+\sqrt{c+k(a-b)^{2}}\leq \sqrt{3}$ trong đó $k=1-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Theo như tó biết thì bài này chỉ gợi ý dồn biến, và cũng chỉ gợi ý $k_{max} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ t đoán có đúng ko

[Hoang Nhat Tuan]

Sao ra đoạn này được vậy bạn? 

Ta có: $\sqrt{a+\frac{(b-c)^2}{4}}=\sqrt{a+\frac{(b+c)^2-4bc}{4}}=\sqrt{\frac{4a+(1-a)^2-4x^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{(1+a)^2-4x^2}$

[hoctrocuaHolmes]

Thế cụ làm được chưa vậy Thấy bài nào cũng làm được chắc giỏi lắm rồi nhỉ haha
Bài này có trong sách rồi mấy bạn, cần post lên ko

Chưa tôi còn kém ông xa,bài nào cũng hên xui mới làm được.Mà ông thử làm bài này đi,dễ lắm =))) 

Cho $a_{1};a_{2};...;a_{n}> 0$.Chứng minh $\sum \sqrt{\frac{a_{1}^{n}}{a_{2}^{n}+a_{3}^{n}+...+a_{n}^{n}}}> 2$

Spoiler

Cho ông kiếm tí post =)))

[Silverbullet069]

Đặt: $x=\sqrt{bc}$

Khi đó: $\sqrt{a+\frac{(b-c)^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{(1+a)^2-4x^2}$

và $\sqrt{b}+\sqrt{c}=\sqrt{1-a+2\sqrt{bc}}$ $=\sqrt{1-a+2x}$

VT BĐT trở thành: $\frac{1}{2}(\sqrt{(1+a)^2-4x^2}+2\sqrt{1-a+2x})\leq \frac{1}{2}\sqrt{3\left [ (1+a)^2-4x^2+2(1-a+2x) \right ]}$

Cần chứng minh: 

$(1+a)^2-4x^2+2(1-a+2x)\leq 4$$<=>(1-2x-a)(1+a-2x)\geq 0$

Dễ dàng chứng minh bằng AM-GM

Thử bài này xem:

Tìm hệ số k lớn nhất sao cho:

$\sqrt{a+k(b-c)^2}+\sqrt{b+k(c-a)^2}+\sqrt{c+k(a-b)^2}\leq \sqrt{3}$

Đoạn này hơi khó nhỉ nhưng mình hiểu rồi

Ta có : $(\sqrt{b}+\sqrt{c})^2 = b + 2.\sqrt{bc} + c$ (HĐT)

$\Rightarrow \sqrt{b}+\sqrt{c} = \sqrt{b + 2.\sqrt{bc} + c}$

mà a + b + c = 1 $\Rightarrow$ b + c = 1 - a

$\Rightarrow \sqrt{b}+\sqrt{c} = \sqrt{1 - a + 2.\sqrt{bc} }$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 05-08-2015 - 22:02

[hoctrocuaHolmes]

Giỏi thì nhận đi, ko phải ngại hihi

Có giỏi đâu mà nhận 

Klq:Nhưng làm hộ bài này,nghĩ chưa ra Cho a,b,c không âm $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ Tìm GTNN GTLN 

$\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(c-b)^{2}}+\frac{1}{(a-c)^{2}}$

Không biết có sai đề không nữa   

 

Theo như tó biết thì bài này chỉ gợi ý dồn biến, và cũng chỉ gợi ý $k_{max} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ t đoán có đúng ko

Klq nhưng t biết fairytail19061 là tó rồi   

[fairytail19061]

Theo mình thì làm thế này cho dễ hiểu này:
$p=\sqrt{a+\frac{(b-c)^{2}}{4}} +\frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{2}+\frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{2}$
$\Leftrightarrow P^{2}\leq 3(a+\frac{(b-c)^{2}}{4}+\frac{(\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}}{4}+\frac{(\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}}{4})=3(a+\frac{(b-c)^{2}+2(b-c)+4\sqrt{bc}}{4}) (1)$
Lại có $(b-c)^{2}=(\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}(\sqrt{b}-\sqrt{c})\leq 2(b+c)(\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2}\leq 2(\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2}=2(b+c)-4\sqrt{bc}$ (2)
(1),(2) $\Rightarrow P^{2}\leq 3(a+\frac{(2(b+c)-4\sqrt{bc})+2(b+c)+4\sqrt{bc}}{4})=3(a+\frac{4(b+c)}{4})=3(a+b+c)=3$
$\Leftrightarrow P\leq \sqrt{3}$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

[fairytail19061]

thực ra vẫn có cách dùng Cauchy Schwarz nhanh hơn nhưng cũng tương tự thế thôi, các bạn có thể thêm nhiều cách khác

[the man]

 

Klq:Nhưng làm hộ bài này,nghĩ chưa ra Cho a,b,c không âm $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ Tìm GTNN GTLN 

$\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(c-b)^{2}}+\frac{1}{(a-c)^{2}}$

Không biết có sai đề không nữa   

 

 

Điều kiện $a,b,c$ đôi một khác nhau nữa và GTNN là $1,5$, GTLN thì chưa làm ra

[hoctrocuaHolmes]

Điều kiện $a,b,c$ đôi một khác nhau nữa và GTNN là $1,5$, GTLN thì chưa làm ra

Anh có thể trình bày phần GTNN không ạ?Em làm chưa ra 

[the man]

Ta đi chứng minh  $(a^2+b^2+c^2)\left [ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2} \right ]\geq \frac{9}{2}$

Để ý : $a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3}$  (c/m bằng biến đổi tương đương thôi)

Bài toán đưa về: $$\left [ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \right ]\left [ \frac{1}{(a-b)^2}+ \frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\right ]\geq \frac{27}{2}$$

Ta giả sử  $a>b>c\Rightarrow x=a-b, y=b-c$  với $(x,y>0)\Rightarrow c-a=-(x+y)$

Bài toán đưa về bất đẳng thức đối xứng quen thuộc:

  $$\left [ x^2+y^2+(x+y)^2 \right ]\left [ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} +\frac{1}{(x+y)^2}\right ]\geq \frac{27}{2}$$

Chỉ cần dùng AM-GM là chứng minh được bất đẳng thức này

Dấu = xảy ra tại  $b=0, a=-c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the man: 05-08-2015 - 23:32

[Thao Huyen]

Có giỏi đâu mà nhận 

Klq:Nhưng làm hộ bài này,nghĩ chưa ra Cho a,b,c không âm $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ Tìm GTNN GTLN 

$\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(c-b)^{2}}+\frac{1}{(a-c)^{2}}$

 

$VT\geqslant (a^2+b^2).[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}]$ với giả sử: $a>b>c\geqslant 0$

Bung ra và đặt: $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=t> 2$, dùng đạo hàm là ra :v