Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn:
$a+b+c=1$
Chứng minh rằng: $\sqrt{a+\frac{(b-c)^{2}}{4}}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \leq \sqrt{3}$
p/s: Lâu rồi chưa đăng bài nào
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn:
$a+b+c=1$
Chứng minh rằng: $\sqrt{a+\frac{(b-c)^{2}}{4}}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \leq \sqrt{3}$
p/s: Lâu rồi chưa đăng bài nào
Ultra music festival is my life
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn:
$a+b+c=1$
Chứng minh rằng: $\sqrt{a+\frac{(b-c)^{2}}{4}}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \leq \sqrt{3}$
p/s: Lâu rồi chưa đăng bài nào
Đặt: $x=\sqrt{bc}$
Khi đó: $\sqrt{a+\frac{(b-c)^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{(1+a)^2-4x^2}$
và $\sqrt{b}+\sqrt{c}=\sqrt{1-a+2\sqrt{bc}}=\sqrt{1-a+2x}$
VT BĐT trở thành: $\frac{1}{2}(\sqrt{(1+a)^2-4x^2}+2\sqrt{1-a+2x})\leq \frac{1}{2}\sqrt{3\left [ (1+a)^2-4x^2+2(1-a+2x) \right ]}$
Cần chứng minh:
$(1+a)^2-4x^2+2(1-a+2x)\leq 4$$<=>(1-2x-a)(1+a-2x)\geq 0$
Dễ dàng chứng minh bằng AM-GM
Thử bài này xem:
Tìm hệ số k lớn nhất sao cho:
$\sqrt{a+k(b-c)^2}+\sqrt{b+k(c-a)^2}+\sqrt{c+k(a-b)^2}\leq \sqrt{3}$
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn:
$a+b+c=1$
Chứng minh rằng: $\sqrt{a+\frac{(b-c)^{2}}{4}}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \leq \sqrt{3}$
p/s: Lâu rồi chưa đăng bài nào
Bài này lúc sáng thím Oanh mới đưa t coi .Làm được rồi thì thử làm bài này đi,tương tương chút nhưng khó hơn
Cho $a,b,c$ không âm thoả mãn $a+b+c=1$.Chứng minh
$\sqrt{a+k(b-c)^{2}}+\sqrt{b+k(c-a)^{2}}+\sqrt{c+k(a-b)^{2}}\leq \sqrt{3}$ trong đó $k=1-\frac{\sqrt{3}}{2}$
Bài này lúc sáng thím Oanh mới đưa t coi .Làm được rồi thì thử làm bài này đi,tương tương chút nhưng khó hơn
Cho $a,b,c$ không âm thoả mãn $a+b+c=1$.Chứng minh
$\sqrt{a+k(b-c)^{2}}+\sqrt{b+k(c-a)^{2}}+\sqrt{c+k(a-b)^{2}}\leq \sqrt{3}$ trong đó $k=1-\frac{\sqrt{3}}{2}$
Thế cụ làm được chưa vậy Thấy bài nào cũng làm được chắc giỏi lắm rồi nhỉ haha
Bài này có trong sách rồi mấy bạn, cần post lên ko
Ultra music festival is my life
Đặt: $x=\sqrt{bc}$
Khi đó: $\sqrt{a+\frac{(b-c)^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{(1+a)^2-4x^2}$
và $\sqrt{b}+\sqrt{c}=\sqrt{1-a+2\sqrt{bc}}=\sqrt{1-a+2x}$
VT BĐT trở thành: $\frac{1}{2}(\sqrt{(1+a)^2-4x^2}+2\sqrt{1-a+2x})\leq \frac{1}{2}\sqrt{3\left [ (1+a)^2-4x^2+2(1-a+2x) \right ]}$
Cần chứng minh:
$(1+a)^2-4x^2+2(1-a+2x)\leq 4$$<=>(1-2x-a)(1+a-2x)\geq 0$
Dễ dàng chứng minh bằng AM-GM
Thử bài này xem:
Tìm hệ số k lớn nhất sao cho:
$\sqrt{a+k(b-c)^2}+\sqrt{b+k(c-a)^2}+\sqrt{c+k(a-b)^2}\leq \sqrt{3}$
Sao ra đoạn này được vậy bạn?
Practice makes Perfect ^^
Bài này lúc sáng thím Oanh mới đưa t coi .Làm được rồi thì thử làm bài này đi,tương tương chút nhưng khó hơn
Cho $a,b,c$ không âm thoả mãn $a+b+c=1$.Chứng minh
$\sqrt{a+k(b-c)^{2}}+\sqrt{b+k(c-a)^{2}}+\sqrt{c+k(a-b)^{2}}\leq \sqrt{3}$ trong đó $k=1-\frac{\sqrt{3}}{2}$
Theo như tó biết thì bài này chỉ gợi ý dồn biến, và cũng chỉ gợi ý $k_{max} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ t đoán có đúng ko
Ultra music festival is my life
Sao ra đoạn này được vậy bạn?
Ta có: $\sqrt{a+\frac{(b-c)^2}{4}}=\sqrt{a+\frac{(b+c)^2-4bc}{4}}=\sqrt{\frac{4a+(1-a)^2-4x^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{(1+a)^2-4x^2}$
Thế cụ làm được chưa vậy Thấy bài nào cũng làm được chắc giỏi lắm rồi nhỉ haha
Bài này có trong sách rồi mấy bạn, cần post lên ko
Chưa tôi còn kém ông xa,bài nào cũng hên xui mới làm được.Mà ông thử làm bài này đi,dễ lắm =)))
Cho $a_{1};a_{2};...;a_{n}> 0$.Chứng minh $\sum \sqrt{\frac{a_{1}^{n}}{a_{2}^{n}+a_{3}^{n}+...+a_{n}^{n}}}> 2$
Đặt: $x=\sqrt{bc}$
Khi đó: $\sqrt{a+\frac{(b-c)^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{(1+a)^2-4x^2}$
và $\sqrt{b}+\sqrt{c}=\sqrt{1-a+2\sqrt{bc}}$ $=\sqrt{1-a+2x}$
VT BĐT trở thành: $\frac{1}{2}(\sqrt{(1+a)^2-4x^2}+2\sqrt{1-a+2x})\leq \frac{1}{2}\sqrt{3\left [ (1+a)^2-4x^2+2(1-a+2x) \right ]}$
Cần chứng minh:
$(1+a)^2-4x^2+2(1-a+2x)\leq 4$$<=>(1-2x-a)(1+a-2x)\geq 0$
Dễ dàng chứng minh bằng AM-GM
Thử bài này xem:
Tìm hệ số k lớn nhất sao cho:
$\sqrt{a+k(b-c)^2}+\sqrt{b+k(c-a)^2}+\sqrt{c+k(a-b)^2}\leq \sqrt{3}$
Đoạn này hơi khó nhỉ nhưng mình hiểu rồi
Ta có : $(\sqrt{b}+\sqrt{c})^2 = b + 2.\sqrt{bc} + c$ (HĐT)
$\Rightarrow \sqrt{b}+\sqrt{c} = \sqrt{b + 2.\sqrt{bc} + c}$
mà a + b + c = 1 $\Rightarrow$ b + c = 1 - a
$\Rightarrow \sqrt{b}+\sqrt{c} = \sqrt{1 - a + 2.\sqrt{bc} }$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 05-08-2015 - 22:02
"I am the bone of my sword,
Unknown to Death, Nor known to Life,
So as I pray, unlimited blade works."
Giỏi thì nhận đi, ko phải ngại hihi
Có giỏi đâu mà nhận
Klq:Nhưng làm hộ bài này,nghĩ chưa ra Cho a,b,c không âm $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ Tìm GTNN GTLN
$\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(c-b)^{2}}+\frac{1}{(a-c)^{2}}$
Không biết có sai đề không nữa
Theo như tó biết thì bài này chỉ gợi ý dồn biến, và cũng chỉ gợi ý $k_{max} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ t đoán có đúng ko
Klq nhưng t biết fairytail19061 là tó rồi
Theo mình thì làm thế này cho dễ hiểu này:
$p=\sqrt{a+\frac{(b-c)^{2}}{4}} +\frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{2}+\frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{2}$
$\Leftrightarrow P^{2}\leq 3(a+\frac{(b-c)^{2}}{4}+\frac{(\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}}{4}+\frac{(\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}}{4})=3(a+\frac{(b-c)^{2}+2(b-c)+4\sqrt{bc}}{4}) (1)$
Lại có $(b-c)^{2}=(\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}(\sqrt{b}-\sqrt{c})\leq 2(b+c)(\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2}\leq 2(\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2}=2(b+c)-4\sqrt{bc}$ (2)
(1),(2) $\Rightarrow P^{2}\leq 3(a+\frac{(2(b+c)-4\sqrt{bc})+2(b+c)+4\sqrt{bc}}{4})=3(a+\frac{4(b+c)}{4})=3(a+b+c)=3$
$\Leftrightarrow P\leq \sqrt{3}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$
Ultra music festival is my life
thực ra vẫn có cách dùng Cauchy Schwarz nhanh hơn nhưng cũng tương tự thế thôi, các bạn có thể thêm nhiều cách khác
Ultra music festival is my life
Klq:Nhưng làm hộ bài này,nghĩ chưa ra Cho a,b,c không âm $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ Tìm GTNN GTLN
$\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(c-b)^{2}}+\frac{1}{(a-c)^{2}}$
Không biết có sai đề không nữa
Điều kiện $a,b,c$ đôi một khác nhau nữa và GTNN là $1,5$, GTLN thì chưa làm ra
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
Điều kiện $a,b,c$ đôi một khác nhau nữa và GTNN là $1,5$, GTLN thì chưa làm ra
Anh có thể trình bày phần GTNN không ạ?Em làm chưa ra
Ta đi chứng minh $(a^2+b^2+c^2)\left [ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2} \right ]\geq \frac{9}{2}$
Để ý : $a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3}$ (c/m bằng biến đổi tương đương thôi)
Bài toán đưa về: $$\left [ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \right ]\left [ \frac{1}{(a-b)^2}+ \frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\right ]\geq \frac{27}{2}$$
Ta giả sử $a>b>c\Rightarrow x=a-b, y=b-c$ với $(x,y>0)\Rightarrow c-a=-(x+y)$
Bài toán đưa về bất đẳng thức đối xứng quen thuộc:
$$\left [ x^2+y^2+(x+y)^2 \right ]\left [ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} +\frac{1}{(x+y)^2}\right ]\geq \frac{27}{2}$$
Chỉ cần dùng AM-GM là chứng minh được bất đẳng thức này
Dấu = xảy ra tại $b=0, a=-c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the man: 05-08-2015 - 23:32
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
Có giỏi đâu mà nhận
Klq:Nhưng làm hộ bài này,nghĩ chưa ra Cho a,b,c không âm $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ Tìm GTNN GTLN
$\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(c-b)^{2}}+\frac{1}{(a-c)^{2}}$
$VT\geqslant (a^2+b^2).[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}]$ với giả sử: $a>b>c\geqslant 0$
Bung ra và đặt: $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=t> 2$, dùng đạo hàm là ra :v
Cuộc sống giống như một cuốn sách. Một vài chương khá buồn, một số chương hạnh phúc và một số chương rất thú vị. Nhưng nếu bạn chưa bao giờ lật thử một trang bạn sẽ không bao giờ biết những gì ở chương tiếp theo!
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh