Chủ đề này có 4 trả lời

[dangkhuong]

Cho a,b,c không âm: $a^2+b^2+c^2=8.$.

Tìm Min của P=$4(a+b+c)-abc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 06-08-2015 - 19:33

[an1712]

áp dụng pqr: có $r\leq $ $B$ $=\frac{(p-\sqrt{p^2-3q})^2(p+2\sqrt{p^2-3q})}{27}$

$A\geq p-B$

đưa khảo sát hàm

[dangkhuong]

áp dụng pqr: có $r\leq $ $B$ $=\frac{(p-\sqrt{p^2-3q})^2(p+2\sqrt{p^2-3q})}{27}$

$A\geq p-B$

đưa khảo sát hàm

   

[Nguyenhuyen_AG]

Cho a,b,c không âm: $a^2+b^2+c^2=8.$.

Tìm Min của \[P=4(a+b+c)-abc\]

 

Chắc là tìm Max chứ nhỉ. Ta chứng minh \[4(a+b+c) - abc \leqslant 16.\] Thật vậy theo bất đẳng thức Schur bậc $4$ ta có \[r \geqslant \frac{(4q-p^2)(p^2-q)}{6p} = \frac{(p^2-16)(p^2+8)}{12p}\] Do đó \[4p - r - 16 \leqslant 4p - \frac{(p^2-16)(p^2+8)}{12p} - 16 = - \frac{(p^2+8p-8)(p-4)^2}{12p} \leqslant 0.\] Đẳng thức xảy ra khi $a=b=2,\,c=0.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 16-09-2015 - 00:17

[dangkhuong]

Bài toán ko có Min (sorry mn) nhưng có Max sau đây là cách giải của mk:

Chúng ta đã quen thuộc với bổ đề sau của anh Cẩn:

Cho a,b,c thực sao cho $a+b+c=3$ và $a^2+b^2+c^2=3+6t^2$($0\leq t\leq1$)

Thế thì $(1-2t)(t+1)^2\leq abc\leq (1+2t)(1-t)^2$

Do đó ta sẽ đồng bậc bài toán như sau:

P=$\dfrac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{2} -abc$.

Ta đi cm P luôn nhỏ hơn bằng:$16\sqrt{\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^3}{8^3}}$ với mọi a,b,c dương

Ta sẽ chuẩn hoá $a+b+c=3$. Áp dụng bổ đề trên ta quy bài toán về tìm Max P với 1 biến t(khảo sát hàm)