Chủ đề này có 6 trả lời

[yeudiendanlamlam]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(a+c)^2}+\frac{c^2}{c^2+(b+a)^2}\geq \frac{3}{5}$

[congdan9aqxk]

Chuẩn hóa :a+b+c=3.

Nếu $a>\frac{21}{8}$ thì $b+c\leq \frac{3}{8}\Rightarrow \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}}>\frac{a^{2}}{a^{2}+\frac{9}{64}}$

Ta cần cm:$\frac{a^{2}}{a^{2}+\frac{9}{64}}>\frac{3}{5}\Leftrightarrow a^{2}>\frac{27}{128}$ (đúng vìa>21/8)

Nếu a<=21/8

Ta cm:$\frac{a^{2}}{a^{2}+(3-a)^{2}}\geq \frac{1}{5}+\frac{12}{25}(a-1)$

$(a-1)^{2}\frac{63-24a}{25(2a^{2}-6a+9)}\geq 0$ (đúng)

Cộng vế theo vế các bđt tương tự ta được đpcm

[hoanglong2k]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(a+c)^2}+\frac{c^2}{c^2+(b+a)^2}\geq \frac{3}{5}$

 Sử dụng AM-GM : $\sum \frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}\geq \sum \frac{a^2}{a^2+2(b^2+c^2)}$

 Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có :

  $\sum \frac{a^2}{a^2+2(b^2+c^2)}+\sum \frac{a^2/25}{a^2}\geq \sum \frac{36a^2/25}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{36}{50}$

  $\Rightarrow \sum \frac{a^2}{a^2+2(b^2+c^2)}\geq \frac{36}{50}-\frac{3}{25}=\frac{3}{5}$

[daotuanminh]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(a+c)^2}+\frac{c^2}{c^2+(b+a)^2}\geq \frac{3}{5}$

$\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}} \geq \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2(b^{2}+c^{2})} \Rightarrow \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}} \geq 2(\sum a^{2})(\frac{9}{5\sum a^{2}})-3=\frac{3}{5}$

[yeudiendanlamlam]

 Sử dụng AM-GM : $\sum \frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}\geq \sum \frac{a^2}{a^2+2(b^2+c^2)}$

 Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có :

  $\sum \frac{a^2}{a^2+2(b^2+c^2)}+$$\sum \frac{a^2/25}{a^2}$$\geq \sum \frac{36a^2/25}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{36}{50}$

  $\Rightarrow \sum \frac{a^2}{a^2+2(b^2+c^2)}\geq \frac{36}{50}-\frac{3}{25}=\frac{3}{5}$

cho mình hỏi làm sao bạn biết thêm phần tử phụ này vào vậy

[yeudiendanlamlam]

$\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}} \geq \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2(b^{2}+c^{2})} \Rightarrow \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}} \geq $$2(\sum a^{2})(\frac{9}{5\sum a^{2}})-3$$=\frac{3}{5}$

mình chưa hiểu làm sao suy ra được điều này

[daotuanminh]

mình chưa hiểu làm sao suy ra được điều này

Ta có: $\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2(b^{2}+c^{2})}=\sum \frac{2(\sum a^{2})}{a^{2}+2(b^{2}+c^{2})}-3 \geq 2(\sum a^{2})\frac{9}{\sum [a^{2}+2(b^{2}+c^{2})]}-3=\frac{3}{5}$

BĐT $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}$