Chủ đề này có 3 trả lời

[Tuituki]

Cho a,b,c>0 Chứng minh

$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ac+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2} \geq \frac{3(ab+bc+ac)}{a+b+c}$

[NoHechi]

Gần giống bài này http://diendantoanho...a2geq-fracabc3/

   Khó nhai đây

[Tuituki]

Ở mẫu thay dấu - thành +
VP là (a+b+c)/3 có vẻ dễ hơn :v

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho a,b,c>0 Chứng minh

$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ac+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2} \geq \frac{3(ab+bc+ac)}{a+b+c}$

Ta có $VT=\frac{a^{4}}{ab^{2}-abc+ac^{2}}+\frac{b^{4}}{bc^{2}-abc+ba^{2}}+\frac{c^{4}}{cb^{2}-abc+ca^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{ab^{2}+ac^{2}+bc^{2}+ba^{2}+ca^{2}+cb^{2}-3abc}(Svac)$

 

Dễ dàng chứng minh được $(a+b+c)^{2} \geq 3ab+3bc+3ca$ $-> a+b+c \geq \frac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c}$

 

 

Bây giờ cần chứng minh 

$\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{ab^{2}+ac^{2}+bc^{2}+ba^{2}+ca^{2}+cb^{2}-3abc} \geq a+b+c$

$<=>(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2} \geq (ab^{2}+ac^{2}+bc^{2}+ba^{2}+ca^{2}+cb^{2}-3abc)(a+b+c)$

$<=>a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c) \geq a^{3}(b+c)+b^{3}(c+a)+c^{3}(a+b)$

$<=>a^{2}(a-b)(a-c)+b^{2}(b-c)(b-a)+c^{2}(c-a)(c-b) \geq 0$ ( đúng theo $Schur$ )

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 30-12-2015 - 22:21