Cho $a, b, c >0$. CMR $(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}<(a^2+b^2+c^2)^3$
$(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}<(a^2+b^2+c^2)^3$
#1
Posted 07-08-2015 - 17:31
Sống thì phải nỗ lực. Có nỗ lực mới thành công.
#2
Posted 07-08-2015 - 17:49
$\Leftrightarrow 2(ab)^3+2(bc)^3+2(ca)^3+3(abc)^2<(ab)^23(a^2+b^2+c^2)+(bc)^23(a^2+b^2+c^2)+(ca)^23(a^2+b^2+c^2)$Cho $a, b, c >0$. CMR $(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}<(a^2+b^2+c^2)^3$
$\Leftrightarrow (ab)^2(3a^2-2ab+3b^2)+(bc)^2(3b^2-2bc+3c^2)+(ca)^2(3c^2-2ca+3a^2)>0$ (đúng vì $a,b,c>0$)
Edited by Minhnguyenthe333, 07-08-2015 - 17:51.
- S dragon likes this
#3
Posted 07-08-2015 - 19:39
$\Leftrightarrow 2(ab)^3+2(bc)^3+2(ca)^3+3(abc)^2<(ab)^23(a^2+b^2+c^2)+(bc)^23(a^2+b^2+c^2)+(ca)^23(a^2+b^2+c^2)$
$\Leftrightarrow (ab)^2(3a^2-2ab+3b^2)+(bc)^2(3b^2-2bc+3c^2)+(ca)^2(3c^2-2ca+3a^2)>0$ (đúng vì $a,b,c>0$)
Đáng nhẽ ra phải như thế này chứ :$\sum (ab)^{2}(3a^2-2ab+3b^2+3c^2)>0$
- Minhnguyenthe333 likes this
Sống thì phải nỗ lực. Có nỗ lực mới thành công.
#4
Posted 07-08-2015 - 20:27
Cho $a, b, c >0$. CMR $(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}<(a^2+b^2+c^2)^3$
BĐT thuần nhất do đó ta có thể chuẩn hóa $a^2+b^2+c^2=1$
Khi đó ta cần chứng minh: $(a^3+b^3+c^3)^2 < 1$
Ta có: $a,b,c \in (0;1)$
Do đó: $a^3<a^2$ , $b^3<b^2$ và $c^3<c^2$
$\Rightarrow (a^3+b^3+c^3)^2 < (a^2+b^2+c^2)^2=1$
- hoanglong2k and VoHungHuu like this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users