Chủ đề này có 3 trả lời

[S dragon]

Cho $a, b, c >0$. CMR $(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}<(a^2+b^2+c^2)^3$

[Minhnguyenthe333]

Cho $a, b, c >0$. CMR $(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}<(a^2+b^2+c^2)^3$

$\Leftrightarrow 2(ab)^3+2(bc)^3+2(ca)^3+3(abc)^2<(ab)^23(a^2+b^2+c^2)+(bc)^23(a^2+b^2+c^2)+(ca)^23(a^2+b^2+c^2)$
$\Leftrightarrow (ab)^2(3a^2-2ab+3b^2)+(bc)^2(3b^2-2bc+3c^2)+(ca)^2(3c^2-2ca+3a^2)>0$ (đúng vì $a,b,c>0$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 07-08-2015 - 17:51

[S dragon]

$\Leftrightarrow 2(ab)^3+2(bc)^3+2(ca)^3+3(abc)^2<(ab)^23(a^2+b^2+c^2)+(bc)^23(a^2+b^2+c^2)+(ca)^23(a^2+b^2+c^2)$
$\Leftrightarrow (ab)^2(3a^2-2ab+3b^2)+(bc)^2(3b^2-2bc+3c^2)+(ca)^2(3c^2-2ca+3a^2)>0$ (đúng vì $a,b,c>0$)

Đáng nhẽ ra phải như thế này chứ :$\sum (ab)^{2}(3a^2-2ab+3b^2+3c^2)>0$

[Nguyen Minh Hai]

Cho $a, b, c >0$. CMR $(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}<(a^2+b^2+c^2)^3$

BĐT thuần nhất do đó ta có thể chuẩn hóa $a^2+b^2+c^2=1$

Khi đó ta cần chứng minh:           $(a^3+b^3+c^3)^2 < 1$

Ta có:            $a,b,c \in (0;1)$

Do đó:     $a^3<a^2$ , $b^3<b^2$ và $c^3<c^2$

$\Rightarrow (a^3+b^3+c^3)^2 < (a^2+b^2+c^2)^2=1$