Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh các đẳng thức lượng giác liên quan đến phương trình bậc $3$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Bonjour

Bonjour

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 476 Bài viết

Chứng minh rằng :

 $1)$      $\sqrt[3]{cos\frac{2\pi }{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{4\pi }{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{8\pi }{7}}=\sqrt[3]{\frac{5-3\sqrt[3]{7}}{2}}$

 

$2)$       $\sqrt[3]{\frac{1}{cos\frac{2\pi }{7}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{cos\frac{4\pi }{7}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{cos\frac{8\pi }{7}}}=\sqrt[3]{8-6\sqrt[3]{7}}$

 

$3)$   $cos^{2}\frac{4\pi }{7}\sqrt[3]{cos\frac{8\pi }{7}}+cos^{2}\frac{8\pi }{7}\sqrt[3]{cos\frac{2\pi }{7}}+cos^{2}\frac{2\pi }{7}\sqrt[3]{cos\frac{4\pi }{7}}=\frac{1}{\sqrt[3]{128}}\sqrt[3]{47+3\sqrt[3]{7}-12\sqrt[3]{49}}$

Spoiler

 


Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ  

                     


#2
LzuTao

LzuTao

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết

1) Tại http://diendantoanho...01/#entry531614Bài gốc của phương pháp 'ảo giác' :D



#3
Bonjour

Bonjour

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 476 Bài viết

1) Tại http://diendantoanho...01/#entry531614Bài gốc của phương pháp 'ảo giác' :D

Thật ra phương pháp này rất hay .Nhưng đối với những bài toán có vế phải rắc rối như câu $b)$  ,  $c)$ thì nên sử dụng phương trình bậc ba thì tốt hơn


Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ  

                     


#4
LzuTao

LzuTao

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết

Chứng minh rằng :

 $2)$       $\sqrt[3]{\frac{1}{cos\frac{2\pi }{7}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{cos\frac{4\pi }{7}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{cos\frac{8\pi }{7}}}=\sqrt[3]{8-6\sqrt[3]{7}}$

Đầu tiên, xét phương trình sau:

$$4x=-3x+k2\pi,\qquad {\color{Red}{(1)}}$$

Phương trình $(1)$ có các nghiệm $x\in \left \{ \frac{2\pi}{7}; \frac{4\pi}{7};\frac{8\pi}{7} \right \}$

Ta có: $$(1)\Leftrightarrow \cos4x=\cos(-3x)=\cos3x\\\Leftrightarrow 8y^3+4y^2-4y-1=0, \qquad y=\cos x,\qquad x\in \left \{ \frac{2\pi}{7}; \frac{4\pi}{7};\frac{8\pi}{7} \right \}$$

Đặt $z=\frac{1}{2\cos x}$, pt trở thành: $$z^3+2z^2-z-1=0$$

Theo Viete: $\sum z_1=-2,\quad \sum z_1z_2=-1,\quad \prod z_1=1$

Sau đó làm theo cách của bạn @caybutbixanh, ta đặt: $A=\sum \sqrt[3]z_1,\quad B=\sum\sqrt[3]{z_1z_2}$

Từ đó ta có: $A^3=\sum z_1+3AB-3\prod z_1=3AB-5\\B^3=\sum z_1z_2+3AB \sqrt[3] {\prod{z_1}}-3\left (\prod z_1  \right )^2=3AB-4\\\implies A^3B^3=\left ( 3AB-5 \right )\left ( 3AB-4 \right )\\\iff \left ( AB-3 \right )^3=-7\iff AB=3-\sqrt[3]7$

Thế vào $A^3$, ta được: $A^3=4-3\sqrt[3]7\implies A=\sqrt[3]{4-3\sqrt[3]7}\\\implies \sqrt[3]{\frac{1}{\cos\frac{2\pi }{7}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{\cos\frac{4\pi }{7}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{\cos\frac{8\pi }{7}}}=\sqrt[3]2\cdot A=\sqrt[3]{8-6\sqrt[3]{7}}\quad\blacksquare$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 10-08-2015 - 17:39





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh