Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Chứng minh các đẳng thức lượng giác liên quan đến phương trình bậc $3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Bonjour

Bonjour

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 476 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi có động năng bằng thế năng
  • Sở thích:Vật Lý,Hình học phẳng,Origami

Đã gửi 07-08-2015 - 18:44

Chứng minh rằng :

 $1)$      $\sqrt[3]{cos\frac{2\pi }{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{4\pi }{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{8\pi }{7}}=\sqrt[3]{\frac{5-3\sqrt[3]{7}}{2}}$

 

$2)$       $\sqrt[3]{\frac{1}{cos\frac{2\pi }{7}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{cos\frac{4\pi }{7}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{cos\frac{8\pi }{7}}}=\sqrt[3]{8-6\sqrt[3]{7}}$

 

$3)$   $cos^{2}\frac{4\pi }{7}\sqrt[3]{cos\frac{8\pi }{7}}+cos^{2}\frac{8\pi }{7}\sqrt[3]{cos\frac{2\pi }{7}}+cos^{2}\frac{2\pi }{7}\sqrt[3]{cos\frac{4\pi }{7}}=\frac{1}{\sqrt[3]{128}}\sqrt[3]{47+3\sqrt[3]{7}-12\sqrt[3]{49}}$

Spoiler

 


Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ  

                     


#2 LzuTao

LzuTao

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{Vũ Trụ}$
  • Sở thích:$\textrm{Giúp Người Là Niềm Vui}$

Đã gửi 07-08-2015 - 22:16

1) Tại http://diendantoanho...01/#entry531614Bài gốc của phương pháp 'ảo giác' :D



#3 Bonjour

Bonjour

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 476 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi có động năng bằng thế năng
  • Sở thích:Vật Lý,Hình học phẳng,Origami

Đã gửi 09-08-2015 - 21:11

1) Tại http://diendantoanho...01/#entry531614Bài gốc của phương pháp 'ảo giác' :D

Thật ra phương pháp này rất hay .Nhưng đối với những bài toán có vế phải rắc rối như câu $b)$  ,  $c)$ thì nên sử dụng phương trình bậc ba thì tốt hơn


Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ  

                     


#4 LzuTao

LzuTao

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{Vũ Trụ}$
  • Sở thích:$\textrm{Giúp Người Là Niềm Vui}$

Đã gửi 10-08-2015 - 17:13

Chứng minh rằng :

 $2)$       $\sqrt[3]{\frac{1}{cos\frac{2\pi }{7}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{cos\frac{4\pi }{7}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{cos\frac{8\pi }{7}}}=\sqrt[3]{8-6\sqrt[3]{7}}$

Đầu tiên, xét phương trình sau:

$$4x=-3x+k2\pi,\qquad {\color{Red}{(1)}}$$

Phương trình $(1)$ có các nghiệm $x\in \left \{ \frac{2\pi}{7}; \frac{4\pi}{7};\frac{8\pi}{7} \right \}$

Ta có: $$(1)\Leftrightarrow \cos4x=\cos(-3x)=\cos3x\\\Leftrightarrow 8y^3+4y^2-4y-1=0, \qquad y=\cos x,\qquad x\in \left \{ \frac{2\pi}{7}; \frac{4\pi}{7};\frac{8\pi}{7} \right \}$$

Đặt $z=\frac{1}{2\cos x}$, pt trở thành: $$z^3+2z^2-z-1=0$$

Theo Viete: $\sum z_1=-2,\quad \sum z_1z_2=-1,\quad \prod z_1=1$

Sau đó làm theo cách của bạn @caybutbixanh, ta đặt: $A=\sum \sqrt[3]z_1,\quad B=\sum\sqrt[3]{z_1z_2}$

Từ đó ta có: $A^3=\sum z_1+3AB-3\prod z_1=3AB-5\\B^3=\sum z_1z_2+3AB \sqrt[3] {\prod{z_1}}-3\left (\prod z_1  \right )^2=3AB-4\\\implies A^3B^3=\left ( 3AB-5 \right )\left ( 3AB-4 \right )\\\iff \left ( AB-3 \right )^3=-7\iff AB=3-\sqrt[3]7$

Thế vào $A^3$, ta được: $A^3=4-3\sqrt[3]7\implies A=\sqrt[3]{4-3\sqrt[3]7}\\\implies \sqrt[3]{\frac{1}{\cos\frac{2\pi }{7}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{\cos\frac{4\pi }{7}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{\cos\frac{8\pi }{7}}}=\sqrt[3]2\cdot A=\sqrt[3]{8-6\sqrt[3]{7}}\quad\blacksquare$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 10-08-2015 - 17:39





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh