Chứng minh rằng :
$2)$ $\sqrt[3]{\frac{1}{cos\frac{2\pi }{7}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{cos\frac{4\pi }{7}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{cos\frac{8\pi }{7}}}=\sqrt[3]{8-6\sqrt[3]{7}}$
Đầu tiên, xét phương trình sau:
$$4x=-3x+k2\pi,\qquad {\color{Red}{(1)}}$$
Phương trình $(1)$ có các nghiệm $x\in \left \{ \frac{2\pi}{7}; \frac{4\pi}{7};\frac{8\pi}{7} \right \}$
Ta có: $$(1)\Leftrightarrow \cos4x=\cos(-3x)=\cos3x\\\Leftrightarrow 8y^3+4y^2-4y-1=0, \qquad y=\cos x,\qquad x\in \left \{ \frac{2\pi}{7}; \frac{4\pi}{7};\frac{8\pi}{7} \right \}$$
Đặt $z=\frac{1}{2\cos x}$, pt trở thành: $$z^3+2z^2-z-1=0$$
Theo Viete: $\sum z_1=-2,\quad \sum z_1z_2=-1,\quad \prod z_1=1$
Sau đó làm theo cách của bạn @caybutbixanh, ta đặt: $A=\sum \sqrt[3]z_1,\quad B=\sum\sqrt[3]{z_1z_2}$
Từ đó ta có: $A^3=\sum z_1+3AB-3\prod z_1=3AB-5\\B^3=\sum z_1z_2+3AB \sqrt[3] {\prod{z_1}}-3\left (\prod z_1 \right )^2=3AB-4\\\implies A^3B^3=\left ( 3AB-5 \right )\left ( 3AB-4 \right )\\\iff \left ( AB-3 \right )^3=-7\iff AB=3-\sqrt[3]7$
Thế vào $A^3$, ta được: $A^3=4-3\sqrt[3]7\implies A=\sqrt[3]{4-3\sqrt[3]7}\\\implies \sqrt[3]{\frac{1}{\cos\frac{2\pi }{7}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{\cos\frac{4\pi }{7}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{\cos\frac{8\pi }{7}}}=\sqrt[3]2\cdot A=\sqrt[3]{8-6\sqrt[3]{7}}\quad\blacksquare$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 10-08-2015 - 17:39