Chủ đề này có 1 trả lời

[Hoang Nhat Tuan]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$

Chứng minh: $\sum \frac{1}{ab+2c^2+2c}\geq \frac{1}{ab+bc+ca}$

Lời giải: 

Thay $a+b+c=1$ vào ta có:

$VT=\sum \frac{1}{4c^2+ab+2ac+2bc}=\sum \frac{1}{(2c+b)(2c+a)}$

$=\sum \frac{(a+b)^2}{(a+b)^2(2c+b)(2c+a)}\geq \frac{4(a+b+c)^2}{\sum (a+b)^2(2c+b)(2c+a)}$

Cần chứng minh: $4(a+b+c)^2(ab+bc+ca)\geq \sum (a+b)^2(2c+a)(2c+b)$

$<=>\sum (a^3b+ab^3)\geq 2\sum a^2b^2$ (Sử dụng AM-GM)

P/s: Ai có cách ngắn hơn cho em xin ạ

[NMDuc98]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$

Chứng minh: $\sum \frac{1}{ab+2c^2+2c}\geq \frac{1}{ab+bc+ca}$

Lời giải: 

Thay $a+b+c=1$ vào ta có:

$VT=\sum \frac{1}{4c^2+ab+2ac+2bc}=\sum \frac{1}{(2c+b)(2c+a)}$

$=\sum \frac{(a+b)^2}{(a+b)^2(2c+b)(2c+a)}\geq \frac{4(a+b+c)^2}{\sum (a+b)^2(2c+b)(2c+a)}$

Cần chứng minh: $4(a+b+c)^2(ab+bc+ca)\geq \sum (a+b)^2(2c+a)(2c+b)$

$<=>\sum (a^3b+ab^3)\geq 2\sum a^2b^2$ (Sử dụng AM-GM)

P/s: Ai có cách ngắn hơn cho em xin ạ

Ta có:

$$(ab+bc+ca)^2=(ab)^2+[(bc)^2+(ca)^2]+2abc(a+b+c) \ge (ab)^2+2abc^2+2abc=ab(ab+2c^2+2c)$$

Suy ra:

$$\frac{1}{ab+2c^2+2c} \ge \frac{ab}{(ab+bc+ca)^2}$$