Chủ đề này có 12 trả lời

[Quoc Tuan Qbdh]

CÁC BẠN NẾU TIẾP TỤC ĐĂNG BÀI TẬP MỚI VÀO TOPIC NÀY THÌ KÈM THÊM SỐ THỨ TỰ LIÊN TIẾP VỚI CÁC BÀI TRƯỚC : BÀI ... 

        

 

$A-$ LÝ THUYẾT

 

 --- Cho $I$ là điểm cố định, $M$ thay đổi tùy ý thì

$MI^{2} \geq 0$ nên $MI^{2}$ bé nhất của $M$ trùng $I$

 --- Với $2$ vectơ $\overrightarrow{u}$ $\overrightarrow{v}$ thì ta có

+ $|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}| \leq |\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{v}|$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2$ vectơ cùng hướng

+ $|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}| \leq |\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2$ vectơ cùng hướng

+ $|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}| \leq |\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{v}|$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2$ vectơ ngược hướng

 --- Với $n$ vectơ $\overrightarrow{u_1}$, $\overrightarrow{u_2}$, ...., $\overrightarrow{u_n}$ bất kì thì có

+ $|\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2}+...+\overrightarrow{u_n}| \leq |\overrightarrow{u_1}|+|\overrightarrow{u_2}|+...+|\overrightarrow{u_n}|$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cả $n$ vectơ cùng hướng

 --- Cho $I$ là điểm cố định, $M$ thay đổi trên đường thẳng $d$ thì $MI$ bé nhất khi $M$ là hình chiếu của $I$ lên đường thẳng $d$.

 --- Với $3$ điểm $A,B,C$ bất kỳ thì có : $|AB-AC| \leq BC$ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $3$ điểm này thẳng hàng và $A$ nằm ngoài đoạn $BC$.

 ---  Với $3$ điểm $A,B,C$ bất kỳ thì có : $BC \leq AB+AC$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $3$ điểm $B,A,C$ thẳng hàng theo thứ tự đó

 --- Với điểm $A,B$ bất kì nằm về một phía của đường thẳng $d$. Điểm $M$ thuộc $d$ thì $MA+MB$ nhỏ nhất khi $M$ là giao điểm của đoạn thẳng $A'B$ với đường thẳng $d$, trong đó $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $d$.

 --- Với điểm $A,B$ bất kỳ nằm về một phía của đường thẳng $d$ . Điểm $M$ thuộc $d$ thì $|MA-MB|$ lớn nhất khi $M$ là giao điểm của $AB$ với đường thẳng $d$

 --- Với điểm $A,B$ bất kỳ nằm về một phía của đường thẳng $d$ . Điểm $M$ thuộc $d$ thì $|MA-MB|$ lớn nhất khi $M$ là giao điểm của đường thẳng $A'B$ với đường thẳng $d$, trong đó $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $d$.

 

Yếu Tố Tam giác :

 - Điểm G là Trọng tâm $\Delta ABC <=> \vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$

$<=> \vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=3\vec{MG}$ với M bất kì

 - Điểm M năm trên cạnh BC của tam giác ABC thì :

$\vec{AM}=\frac{MC}{BC}\vec{AB}+\frac{MB}{BC}\vec{AC}$

 - Điểm M thuộc miền trong tam giác ABC 

$<=> \vec{OM}=\vec{xOA}+\vec{yOB}+\vec{zOC}, x+y+z=1 ,x;y;z>0$

 - Tam giác ABC có G là trọng tâm , H là trực tâm , O là tâm đường tròn ngoại tiếp thì :

$\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OH}=3\vec{OG}$

 - Tam giác ABC có I là tâm đường tròn ngoại tiếp :

$a\vec{IA}+b\vec{IB}+c\vec{IC}=\vec{0}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 10-09-2015 - 14:44

[quan1234]

Bài 1.Cho tam giác ABC. Tìm điểm M cho MA+MB+MC nhỏ nhất

[Quoc Tuan Qbdh]

Bài 1.Cho tam giác ABC. Tìm điểm M cho MA+MB+MC nhỏ nhất

Bổ đề. "Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ nằm trong tam giác. Chứng minh rằng $MB+MC<AB+AC$."

Chứng minh. Kéo dài $BM$ về phía $M$ cắt cạnh $AC$ tại điểm $N$. Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$AN+AB>BN=BM+MN$;

$MN+NC>MC$

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên và trừ đi hai vế cho $MN$ ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.

Ta xét hai trường hợp:

a) Tam giác $ABC$ có ba góc nhỏ hơn $120^\circ$.

Ta dựng tam giác đều $BCD$ ở phía ngoài tam giác $ABC$.

Gọi $T$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$ với $AD$. Dễ dàng chứng minh rằng $T$ nhìn ba cạnh của tam giác $ABC$ dưới ba góc bằng nhau. Ta chứng minh rằng với một điểm $M$ tùy ý ở trong tam giác $ABC$ khác điểm $T$ thì ta có $MA+MB+MC>TA+TB+TC$

Thật vậy ta có $MB+MC\geq MD$ và do đó $MA+MB+MC \geq MA+MD\geq AD \ \ \left ( 1 \right )$

Mặt khác $TA+TB+TC=TA+TD$, do $T$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $BCD$. Và cuối cùng là $$TA+TB+TC=TA+TD=AD \ \ \left ( 2 \right )$$

Từ $\left ( 1 \right )$ và $\left ( 2 \right )$ suy ra $$MA+MB+MC\geq TA+TB+TC$$

Đẳng thức xảy ra khi $M\equiv T$ 

b) Tam giác $ABC$ có một góc, chẳng hạn $\widehat{B}\geq 120^\circ$.

Dựng tam giác đều $BCD$ ở phía ngoài của tam giác $ABC$.

Do $\widehat{B}\geq 120^\circ$ nên với mọi điểm $M$ tùy ý ở trong tam giác $ABC$, điểm $B$ nằm trong tam giác $MDA$.

Ta có $MB+MC\geq MD$. Mặt khác theo bổ đề trên đối với tam giác $MDA$ ta có $MA+MD\geq BA+BD$.

Từ đó ta có $$OA+OB+OC\geq OA+OD\geq BA+BD=BA+BC$$

Như vậy khi $M\equiv B$ thì tổng khoảng cách từ $M$ đến các đỉnh còn lại của tam giác $ABC$ là nhỏ nhất. Tóm lại trong trường hợp tam giác $ABC$ có một đỉnh không nhỏ hơn $120^\circ$ thì chính đỉnh này là đỉnh cần tìm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 11-08-2015 - 18:46

[arsfanfc]

Đóng góp về Lý thuyết

Yếu Tố Tam giác :

*)Điểm G là Trọng tâm $\Delta ABC <=> \vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$

$<=> \vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=3\vec{MG}$ với M bất kì

*) Điểm M năm trên cạnh BC của tam giác ABC thì :

$\vec{AM}=\frac{MC}{BC}\vec{AB}+\frac{MB}{BC}\vec{AC}$

*) Điểm M thuộc miền trong tam giác ABC 

$<=> \vec{OM}=\vec{xOA}+\vec{yOB}+\vec{zOC}, x+y+z=1 ,x;y;z>0$

*) Tam giác ABC có G là trọng tâm , H là trực tâm , O là tâm đường tròn ngoại tiếp thì :

$\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OH}=3\vec{OG}$

*) Tam giác ABC có I là tâm đường tròn ngoại tiếp :

$a\vec{IA}+b\vec{IB}+c\vec{IC}=\vec{0}$

[dogsteven]

Áp dụng bất đẳng thức $|\vec{u}|+|\vec{v}|\geqslant |\vec{u}+\vec{v}|$ để chứng minh bài toán sau:

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ bất kỳ trong mặt phẳng chứa tam giác. Chứng minh:

(a) $MA^2.BC+MB^2.CA+MC^2.AB\geqslant BC.CA.AB$

(b) $MB.MC.BC+MC.MA.CA+MA.MB.AB\geqslant BC.CA.AB$

(c) $BC.MA^3+CA.MB^3+AB.MC^2\geqslant BC.CA.AB.MG$ với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

Gợi ý. Chú ý hằng đẳng thức $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=bc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b)=(a-b)(b-c)(c-a)$

và đẳng thức $a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 08-08-2015 - 14:38

[Quoc Tuan Qbdh]

 $B -$ VÍ DỤ MINH HỌA

 

Ví dụ 1

Áp dụng bất đẳng thức $|\vec{u}|+|\vec{v}|\geqslant |\vec{u}+\vec{v}|$ để chứng minh bài toán sau:

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ bất kỳ trong mặt phẳng chứa tam giác. Chứng minh:

(a) $MA^2.BC+MB^2.CA+MC^2.AB\geqslant BC.CA.AB$

 

Lời giải :

Đặt $BC=a,CA=b,AB=c$

Ta có : $(a.\vec{MA}+b.\vec{MB}+c.\vec{MC})^{2} \geq 0$

$=> a^{2}.MA^{2}+b^{2}.MB^{2}+c^{2}.MC^{2}+2ab.\vec{MA}.\vec{MB}+2bc.\vec{MB}.\vec{MC}+2ca.\vec{MC}.\vec{MA} \geq 0$

$=> a^{2}.MA^{2}+b^{2}.MB^{2}+c^{2}.MC^{2}+ab(MA^{2}+MB^{2}-AB^{2})+bc(MB^{2}+MC^{2}-BC^{2})+ca(MC^{2}+MA^{2}-CA^{2}) \geq 0$

$=> a(a+b+c)MA^{2}+b(a+b+c)MB^{2}+c(a+b+c)MC^{2} \geq abc(a+b+c)$

$=>aMA^{2}+bMB^{2}+cMC^{2} \geq abc$

Dấu bằng xảy ra $<=> a \vec{MA}+b \vec{MB}+c \vec{MC}=\vec{0}$

$<=>M$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

 

Ví dụ 2

Bài 3: Cho đoạn $AB=4a$ . Với điểm $M$ tùy ý thuộc đường thẳng $d$, Tìm $Min$ của tổng $3MA^{2}+MB^{2}$

Lời giải :

Gọi $I$ là điểm sao cho $3\vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}$

$<=> -3\vec{AI}+(\vec{AB}-\vec{AI})=\vec{0}$ $<=>\vec{AB}=4\vec{AI}$ $<=>\vec{AI}=\frac{1}{4}\vec{AB}$

Do đó $I$ cố định và $AI=a,IB=3a$

Ta có :

$3MA^{2}+MB^{2}=3\vec{MA}^{2}+\vec{MB}^{2}=3(\vec{MI}+\vec{IA})^{2}+(\vec{MI}+\vec{IB})^{2}$

$=4.MI^{2}+3.IA^{2}+IB^{2}+2\vec{MI}(3.\vec{IA}+\vec{IB})$

$=4.MI^{2}+3a^{2}+9a^{2}+2\vec{MI}.\vec{0}=4MI^{2}+12a^{2} \geq 4HI^{2}+12a^{2}$

Do đó $3MA^{2}+MB^{2}$ bé nhất khi $M$ là hình chiếu của $H$ lên $d$

 

 

 $C -$ MỘT SỐ BÀI TẬP

Bài 4 :  Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ bán kính $R$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $T=AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}$

Bài 5 :  Cho tam giác $ABC$ có cạnh $BC=a;CA=b;AB=c$ điểm $M$ tùy ý,

Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(M)=\vec{MA}.\vec{MB}+\vec{MB}.\vec{MC}+\vec{MC}.\vec{MA}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 04-11-2015 - 20:59

[hungchng]

Dùng mẫu này trình bày cho trọn vẹn luôn nè.

https://www.overleaf...ad/zrgrswqmsrcr

[arsfanfc]

Bài 5 :  Cho tam giác $ABC$ có cạnh $BC=a;CA=b;AB=c$ điểm $M$ tùy ý,

Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(M)=\vec{MA}.\vec{MB}+\vec{MB}.\vec{MC}+\vec{MC}.\vec{MA}$

Ta có :$ \vec{MA}.\vec{MB}=\frac{1}{2}(MA^2+MB^2+MC^2)$

$=> f(M)=MA^2+MB^2+MC^2-\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)$

Gọi G là  trọng tâm tam giác ABC ,ta có :

$MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2$

nên$ f(M)=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2-\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2) \geq GA^2+GB^2+GC^2-\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)$

dấu = khi M trùng G

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 09-08-2015 - 13:58

[MyMy ZinDy]

Bài 1.Cho tam giác ABC. Tìm điểm M cho MA+MB+MC nhỏ nhất

Xem tại đây

[PHHsmlie]

 

 

$MB+MC\geq MD$ 

$TA+TB+TC=TA+TD$, 

 

 

Có ai giải thích kĩ giúp mình tại sao lại có hai cái này không? Mình chậm hiểu quá.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PHHsmlie: 10-08-2015 - 16:26

[Quoc Tuan Qbdh]

Có ai giải thích kĩ giúp mình tại sao lại có hai cái này không? Mình chậm hiểu quá.

Áp dụng định lý $Ptoleme$ cho tứ giác nội tiếp $TADB$ ta có :

$TB.AD+TC.BD=TD.AB$ ( Mà $AB=BD=AD$ )

Nên suy ra $TB+TC=TD$

[dogsteven]

Áp dụng bất đẳng thức $|\vec{u}|+|\vec{v}|\geqslant |\vec{u}+\vec{v}|$ để chứng minh bài toán sau:

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ bất kỳ trong mặt phẳng chứa tam giác. Chứng minh:

(a) $MA^2.BC+MB^2.CA+MC^2.AB\geqslant BC.CA.AB$

(b) $MB.MC.BC+MC.MA.CA+MA.MB.AB\geqslant BC.CA.AB$

(c) $BC.MA^3+CA.MB^3+AB.MC^2\geqslant BC.CA.AB.MG$ với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

Gợi ý. Chú ý hằng đẳng thức $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=bc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b)=(a-b)(b-c)(c-a)$

và đẳng thức $a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

(a) Đặt $x=\vec{MA}, y=\vec{MB}, z=\vec{MC}$. Bất đẳng thức được viết lại: $|x^2(y-z)|+|y^2(z-x)|+|z^2(x-y)|\geqslant |(x-y)(y-z)(z-x)|$

Hiển nhiên đúng.

Tương tự ta có:

(b) $|xy(x-y)|+|yz(y-z)|+|zx(z-x)|\geqslant |(x-y)(y-z)(z-x)|$

(c) $|x^3(y-z)|+|y^3(z-x)|+|z^3(x-y)|\geqslant |(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)|$

[Quoc Tuan Qbdh]

 

 

 $C -$ MỘT SỐ BÀI TẬP

Bài 4 :  Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ bán kính $R$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $T=AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}$

 

Ta có : $(\vec{OB}+\vec{OC}-\vec{OA})^{2} \geq 0$

Khai triển vế trái và sử dụng $2.\vec{OB}.\vec{OC}=OB^{2}+OC^{2}-BC^{2}$

Tương tự với các đẳng thức khác ta ra được $T=AB^{2}+AC^{2}-BC^{2} \geq R^{2}$

Vậy $Min$ của $T$ là $R^{2}$

Khi và chỉ khi $\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OA}$, nghĩa là khi $OBAC$ là hình thoi có các cạnh bằng đường chéo $OA$ và do đó $ABC$ là tam giác cân tại $A$ với $\widehat{A}=120^{\circ}$