Chủ đề này có 8 trả lời

[Ruby Yu]

1. Chứng minh:

$\sqrt{\frac{a^{2}}{b}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{a}}\geq \sqrt{a}+{\sqrt{b}}$ với a > 0, b > 0

2. Chứng minh:

nếu $a+b\geq 2$ thì $a^{3}+b^{3}\leq a^{4}+b^{4}$ 

3. Giải phương trình:

$\sqrt{x^{2}+x-1} +\sqrt{-x^{2}+x+1}= x^{2} +x+2$

P/s: Mình nhờ mấy bạn giải giúp mình 3 bài này, mình  , mấy bạn TRÌNH BÀY BÀI GIẢI giùm mình lun  . Mình cảm ơn! 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 09-08-2015 - 15:20

[Issac Newton of Ngoc Tao]

1.Có:$\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\geq 2\sqrt{a}; \frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\geq 2\sqrt{b}$

Cộng 2 bất đẳng thức lại với nhau được đpcm.

3.Áp dụng bất đẳng thức cauchy có:

$VT\leq \frac{x^{2}+x-1+1-x^{2}+x+1+1}{2}= x+1< x^{2}+x+2=VP$

Vậy phương trình vô nghiệm.

[VuHongQuan]

bài 3 đầu tiên xét điều kiện , ròi xét hàm số thì thấy nó luôn âm suy ra pt vô nghiêm

[Issac Newton of Ngoc Tao]

2.Ta có:

Xét $2.(a^{4}+b^{4})-(a+b)(a^{3}+b^{3})= (a-b)^{2}.(a^{2}+ab+b^{2})\geq 0$

$\Rightarrow 2(a^{4}+b^{4})\geq (b+a)(a^{3}+b^{3})\geq 2(a^{3}+b^{3})\Leftrightarrow a^{4}+b^{4}\geq a^{3}+b^{3}$.

đpcm

[Quoc Tuan Qbdh]

1. Chứng minh:

$\sqrt{\frac{a^{2}}{b}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{a}}\geq \sqrt{a}+{\sqrt{b}}$ với a > 0, b > 0

2. Chứng minh:

nếu $a+b\geq 2$ thì $a^{3}+b^{3}\leq a^{4}+b^{4}$ 

 

Bài giải :

Bài 1:

Áp dụng $AM-GM$ ta có :

$\sqrt{\frac{a^{2}}{b}}+\sqrt{b}\geq 2\sqrt{\sqrt{\frac{a^{2}}{b}}.\sqrt{b}}=2\sqrt{a}$

$\sqrt{\frac{b^{2}}{a}}+\sqrt{a}\geq 2\sqrt{\sqrt{\frac{b^{2}}{a}}.\sqrt{a}}=2\sqrt{b}$

Cộng vế theo vế rút gọn ta được điều phải chứng minh 

Bài 2:

Áp dụng $C-S$ ta có : $(a^{4}+b^{4})(a^{2}+b^{2}) \geq (a^{3}+b^{3})^{2}$

Áp dụng $AM-GM$ ta có : $a^{4}+b^{4}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}2 \geq \frac{(a^{2}+b^{2})(a+b)^{2}}{4} \geq (a^{2}+b^{2})$

Nhân vế theo vế của hai bất đẳng thức ta có : $(a^{4}+b^{4})^{2}(a^{2}+b^{2}) \geq (a^{3}+b^{3})^{2}(a^{2}+b^{2})$

Rút gọn ta có điều phải chứng minh 

 

 

[mam1101]

Bài 2: Áp dụng BĐT AM-GM ta có

                    3a⁴ + 1$\geq$ 4a³

 

                    3b⁴ + 1$\geq$ 4b³

Mà a³ + b³  $\geq$ a + b =2

Vậy a⁴ + b⁴  $\geq$ a³ + b³

[lethutang7dltt]

1. Chứng minh:

$\sqrt{\frac{a^{2}}{b}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{a}}\geq \sqrt{a}+{\sqrt{b}}$ với a > 0, b > 0

 

$\sqrt{\frac{a^{2}}{b}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{a}}=\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$

[lethutang7dltt]

2. Chứng minh:

nếu $a+b\geq 2$ thì $a^{3}+b^{3}\leq a^{4}+b^{4}$ 

Áp dụng bổ đề: $ab(a+b)\leq a^{3}+b^{3}=>a^{3}+b^{3}+ab(a+b)\leq 2(a^{3}+b^{3})\leq (a+b)(a^{3}+b^{3})$

$\Rightarrow a^{3}+b^{3}+ab(a+b)\leq (a+b)(a^{3}+b^{3})=>a^{3}+b^{3}\leq (a^{3}+b^{3})(a+b)-ab(a+b)=a^{4}+b^{4}$

$=>đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lethutang7dltt: 11-08-2015 - 10:28

[cachcach10x]

Áp dụng bổ đề: $ab(a+b)\leq a^{3}+b^{3}=>a^{3}+b^{3}+ab(a+b)\leq 2(a^{3}+b^{3})\leq (a+b)(a^{3}+b^{3})$

$\Rightarrow a^{3}+b^{3}+ab(a+b)\leq (a+b)(a^{3}+b^{3})=>a^{3}+b^{3}\leq (a^{3}+b^{3})(a+b)-ab(a+b)=a^{4}+b^{4}$

$=>đpcm$

Sao ra đc chỗ đấy hả lethutang7dltt?