Chủ đề này có 2 trả lời

[NMDuc98]

 Cho tứ giác lồi $ABCD$ có các cặp cạnh đối không song song và hai đường chéo $AC$, $BD$ cắt nhau tại $O$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OAB$ và $OCD$ cắt nhau tại $X$ và $O$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OAD$ và $OBC$ cắt nhau tại $Y$ và $O$. Các đường tròn đường kính $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $Z$ và $T$. Chứng minh rằng nếu $AC \neq BD$ thì bốn điểm $X,Y,Z,T$ cùng nằm trên một đường tròn.

[huypham2811]

trước hết ta có bổ đề :

 Cho tứ giác ABCD. E là giao điểm của AB, CD; F là giao điểm

của AD, BC. Khi đó các đường tròn đường kính AC, BD, EF có cùng trục

đẳng phương.

 

Thật vậy, gọi H, K lần lượt là trực tâm của các $\Delta ECB$ và $\Delta FCD$.

Gọi L, M, N lần lượt là hình chiếu của H lên EB, EC, CB và P, Q lần lượt

là hình chiếu của K lên DF, CF, CD.

 

ta có:    $\overline{HL}.\overline{HC}=\overline{HM}.\overline{HB}=\overline{HN}.\overline{HE}$

 

            $\overline{KP}.\overline{KC}=\overline{KQ}.\overline{KD}=\overline{KR}.\overline{KF}$

 

từ đó:

P_H/(AC) = P_H/(BD) = P_H/(EF)

P_K/(AC) = P_K/(BD) = P_K/(EF)

 

Suy ra HK là trục đẳng phương của đtròn đk AC, BD, EF

 

Trở lại bài toán: xét phép nghịch đảo cực O phương tích k bất kì: 

               $A \mapsto A'$

               $B \mapsto B'$

               $C \mapsto C'$

               $D \mapsto D'$

               $X \mapsto  X'$

               $Y \mapsto Y'$

               $Z \mapsto Z'$

               $T \mapsto T'$

       

        =>   $(OAB) \mapsto A'B'$

               $(OBC) \mapsto B'C'$

               $(OAD) \mapsto A'D'$

               $(OCD) \mapsto C'D'$

 

=>       $X'\equiv A'B'\cap C'D'$

           $Y'\equiv A'D'\cap B'C'$

 

Z' , T' là giao của các đường tròn đường kính A'C' và B'D'

 

Do đó, áp dụng bổ đề trên ta đc X', Y', Z', T' đồng viên

 

Hay X, Y, Z, T đồng viên hoặc thẳng hàng.  (Đpcm)

 

(TH cụ thể của btoan là  nếu $AC \neq BD$ thì X,Y,Z,T đồng viên ) 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huypham2811: 14-08-2015 - 09:31

[dogsteven]

trước hết ta có bổ đề :

 Cho tứ giác ABCD. E là giao điểm của AB, CD; F là giao điểm

của AD, BC. Khi đó các đường tròn đường kính AC, BD, EF có cùng trục

đẳng phương.

 

Thật vậy, gọi H, K lần lượt là trực tâm của các $\Delta ECB$ và $\Delta FCD$.

Gọi L, M, N lần lượt là hình chiếu của H lên EB, EC, CB và P, Q lần lượt

là hình chiếu của K lên DF, CF, CD.

 

ta có:    $\overline{HL}.\overline{HC}=\overline{HM}.\overline{HB}=\overline{HN}.\overline{HE}$

 

            $\overline{KP}.\overline{KC}=\overline{KQ}.\overline{KD}=\overline{KR}.\overline{KF}$

 

từ đó:

P_H/(AC) = P_H/(BD) = P_H/(EF)

P_K/(AC) = P_K/(BD) = P_K/(EF)

 

Suy ra HK là trục đẳng phương của đtròn đk AC, BD, EF

 

Trở lại bài toán: xét phép nghịch đảo cực O phương tích k bất kì: 

               $A \mapsto A'$

               $B \mapsto B'$

               $C \mapsto C'$

               $D \mapsto D'$

               $X \mapsto  X'$

               $Y \mapsto Y'$

               $Z \mapsto Z'$

               $T \mapsto T'$

       

        =>   $(OAB) \mapsto A'B'$

               $(OBC) \mapsto B'C'$

               $(OAD) \mapsto A'D'$

               $(OCD) \mapsto C'D'$

 

=>       $X'\equiv A'B'\cap C'D'$

           $Y'\equiv A'D'\cap B'C'$

 

Z' , T' là giao của các đường tròn đường kính A'C' và B'D'

 

Do đó, áp dụng bổ đề trên ta đc X', Y', Z', T' đồng viên

 

Hay X, Y, Z, T đồng viên hoặc thẳng hàng.  (Đpcm)

 

(TH cụ thể của btoan là  nếu $AC \neq BD$ thì X,Y,Z,T đồng viên ) 

Bài này trong sách TLCT phần chưa học phương tích, em nghĩ sẽ có cách không dùng đến phương tích, tạm thời vẫn chưa có tiến triển với bài này.