Chủ đề này có 8 trả lời

[rainbow99]

Bất đẳng thức trên tập số nguyên

Khi xét bất đẳng thức trên tập số nguyên chúng ta cần lưu ý hai nhận xét sau:

1) Số chiều $n$ của bất đẳng thức có liên quan đến các biến số nguyên

2) Dấu đẳng thức xảy ra tại các điểm nguyên

 

I. Bất đẳng thức Cauchy trên tập số nguyên

Xét bất đẳng thức $x_{i}>0 (i=\overline{1,n})$

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{1}\geq \left ( \prod_{i=1}^{n} \right)^{\frac{1}{n}}$

 

Chọn 

$n=a+b+c;a,b,c\in \mathbb{N}^{*}$

$x_{1}=x_{2}=...=x_{a}=a$

$x_{a+1}=x_{a+2}=...=x_{a+b}=b$

$x_{a+b+1}=x_{a+b+2}=...=x_{a+b+c}=c$

Ta thu được:

Ví dụ 1. Với $a,b,c$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}\geq (a^{a}.b^{b}.c^{c})^{\frac{1}{a+b+c}}$

 

Chọn 

$n=a+b+c;a,b,c\in \mathbb{N}^{*}$

$x_{1}=x_{2}=...=x_{a}=b$

$x_{a+1}=x_{a+2}=...=x_{a+b}=c$

$x_{a+b+1}=x_{a+b+2}=...=x_{a+b+c}=a$

Ta thu được:

Ví dụ 2.  Với $a,b,c$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng:

$\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}\geq b^{\frac{a}{a+b+c}}.c^{\frac{b}{a+b+c}}.a^{\frac{c}{a+b+c}}$

Xét bất đẳng thức: $x_{i}>0 (i=\overline{1,n})$

$\prod_{i=1}^{n}(1+x_{1})\geq \left ( 1+( \prod_{i=1}^{n}x_{i})^{\frac{1}{n}} \right )^{n}$

Chọn 

$n=a+b;a,b\in \mathbb{N}^{*}$

$x_{1}=x_{2}=...=x_{a}=b$

$x_{a+1}=x_{a+2}=...=x_{a+b}=b$

Ta thu được:

Ví dụ 3. Với $a,b,c$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng:

$(1+a)^{\frac{a}{a+b}}.(1+b)^{\frac{b}{a+b}}\geq 1+a^{\frac{a}{a+b}}.b^{\frac{b}{a+b}}$

 

Chọn 

$n=a+b;a,b\in \mathbb{N}^{*}$

$x_{1}=x_{2}=...=x_{a}=b$

$x_{a+1}=x_{a+2}=...=x_{a+b}=a$

Ta thu được:

Ví dụ 4. Với $a,b,c$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng:

$(1+a)^{\frac{a}{a+b}}.(1+b)^{\frac{b}{a+b}}\geq 1+a^{\frac{b}{a+b}}.b^{\frac{a}{a+b}}$

Xét bất đẳng thức: $x_{i}>1(i=\overline{1,n})$

$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+x_{i}}\geq \frac{n}{1+\left ( \prod_{i=1}^{n} \right )}^{\frac{1}{n}}$

 

Chọn 

$n=a+b+c;a,b,c\in \mathbb{N}^{*}$

$x_{1}=x_{2}=...=x_{a}=a$

$x_{a+1}=x_{a+2}=...=x_{a+b}=b$

$x_{a+b+1}=x_{a+b+2}=...=x_{a+b+c}=c$

Ta thu được:

Ví dụ 5. Với $a,b,c$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng:

$\left ( 1+a^{\frac{a}{a+b+c}}.b^{\frac{a}{a+b+c}}.c^{\frac{a}{a+b+c}} \right )\left ( \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c} \right )\geq a+b+c$

 

Chọn 

$n=a+b;a,b\in \mathbb{N}^{*}$

$x_{1}=x_{2}=...=x_{a}=b$

$x_{a+1}=x_{a+2}=...=x_{a+b}=a$

Ta thu được:

Ví dụ 6. Với $a,b,c$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng:

$\left ( 1+a^{\frac{b}{a+b}}.b^{\frac{a}{a+b}} \right )\left ( \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b} \right )\geq a+b$

Xét bất đẳng thức: $x_{i}>0(i=\overline{1,n})$

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{k}\geq \left ( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i} \right )^{k}$

 

Chọn 

$n=a+b+c;a,b,c\in \mathbb{N}^{*},k=3$

$x_{1}=x_{2}=...=x_{a}=a$

$x_{a+1}=x_{a+2}=...=x_{a+b}=b$

$x_{a+b+1}=x_{a+b+2}=...=x_{a+b+c}=c$

Ta thu được:

Ví dụ 7. Với $a,b,c$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng:

$(a+b+c)^{2}(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$

 

Chọn

$n=a+b+c;a,b,c\in \mathbb{N}^{*},k=3$

$x_{1}=x_{2}=...=x_{a}=a$

$x_{a+1}=x_{a+2}=...=x_{a+b}=b$

$x_{a+b+1}=x_{a+b+2}=...=x_{a+b+c}=c$

Ta thu được:

Ví dụ 8. Với $a,b,c$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng:

$(a+b+c)^{2}(ab^{3}+bc^{3}+ca^{3})\geq (ab+bc+ca)^{3}$

  

Xét bất đẳng thức:

$\sum_{i=1}^{n}(1+x_{i=1}^{2})^{\frac{1}{2}}\geq \left ( n^{2}+(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2} \right )^{\frac{1}{2}}$

 

Chọn

$n=a+b+c;a,b,c\in \mathbb{N}^{*}$

$x_{1}=x_{2}=...=x_{a}=b$

$x_{a+1}=x_{a+2}=...=x_{a+b}=c$

$x_{a+b+1}=x_{a+b+2}=...=x_{a+b+c}=a$

Ta thu được:

Ví dụ 9. Với $a,b,c$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng:

$a\sqrt{1+a^{2}}+b\sqrt{1+b^{2}}+c\sqrt{1+c^{2}}\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}$

 

Chọn

$n=a+b;a,b\in \mathbb{N}^{*}$

$x_{1}=x_{2}=...=x_{a}=b$

$x_{a+1}=x_{a+2}=...=x_{a+b}=a$

Ta thu được:

Ví dụ 10. Với $a,b$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng:

$a\sqrt{1+b^{2}}+b\sqrt{1+a^{2}}\geq \sqrt{(a+b)^{2}+4a^{2}b^{2}}$

Xét bất đẳng thức: $x_{i}>0$

$\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{1+x_{i}}\leq \frac{n\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n+\sum_{i=1}^{n}x_{i}}$

 

Chọn

$n=a+b+c;a,b,c\in \mathbb{N}^{*}$

$x_{1}=x_{2}=...=x_{a}=a$

$x_{a+1}=x_{a+2}=...=x_{a+b}=b$

$x_{a+b+1}=x_{a+b+2}=...=x_{a+b+c}=c$

Ta thu được

Ví dụ 11. Với $a,b$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^{2}}{1+a}\leq \frac{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a+b+c)+(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

 

Chọn

$n=a+b;a,b\in \mathbb{N}^{*}$

$x_{1}=x_{2}=...=x_{a}=b$

$x_{a+1}=x_{a+2}=...=x_{a+b}=a$

Ta thu được

Ví dụ 12.  Với $a,b$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng:

$ab\left ( \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b} \right )\leq \frac{2ab(a+b)}{a+b+2ab}$

 

II. Bất đẳng thức tổ hợp cơ bản

Trước hết ta xét bài tập cơ bản sau:

 

Ví dụ 13. Với $a,b\in \mathbb{N}^{*}$, $a+b=n$ cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=a!b!$

Giải

Ta chứng minh

Nếu $a+b=n,a-b\geq 2$ thì $a!b!$ không đạt giá trị nhỏ nhất

Thật vậy, ta xây dựng: $a_{1}=a-1,b_{1}=b+1\Rightarrow a_{1}+b_{1}=n$

Ta chứng minh:

$a!b!>a_{1}!b_{1}!=(a-1)!(b+1)!$

$\Leftrightarrow a>b+1$ (Hiển nhiên đúng vì $a\geq b+2>b+1$)

Vậy giá trị nhỏ nhất của $a!b!$ chỉ đạt được khi $a-b$ nhân một trong hai giá trị $0$ và $1$.

Nếu $n=2k$. Suy ra: $a=b=k$ và $P_{min}=(k!)^{2}$

Nếu $n=2k+1$. Suy ra: $a=k+1,b=k$ và $P_{min}=k!(k+1)!$

 

Dễ dàng chứng mở rộng cho trường hợp nhiều biến:

 

Ví dụ 14. Với $x_{i}\in \mathbb{N}^{*}(i=\overline{1,m})$, $\sum_{i=1}^{m}x_{i}=n$ cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\prod_{i=1}^{m}(x_{i}!)$

Giải

Ta chứng minh

Nếu $\sum_{i=1}^{m}x_{i}=n$ và tồn tại $x_{p}-x_{q}\geq 2$ thì $\prod_{i=1}^{m}(x_{i}!)$ không đạt giá trị nhỏ nhất

Thật vậy, ta xây dựng

$y_{i}=x_{i}(i\neq p,i\neq q)$

$y_{p}=x_{p}-1,y_{q}=x_{q}-1$

Khi đó: $\sum_{i=1}^{m}y_{i}=n$ (thỏa mãn điều kiện của bài toán), và:

$\prod_{i=1}^{m}(x_{i}!)> \prod_{i=1}^{m}(y_{i}!)$

$\Leftrightarrow x_{p}!x_{q}!>y_{p}!y_{q}!=(x_{p}-1)!(x_{q}+1)!$

$\Leftrightarrow x_{p}>x_{q}+1$ (Hiển nhiên đúng vì $x_{p}\geq x_{q}+2>x_{q}+1$)

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\prod_{i=1}^{m}(x_{i}!)$ chỉ đạt được khi $x_{p}-x_{q}$ nhận một trong hai giá trị $0$ và $1$, $p,q$ bất kì

Nếu $n=km$, suy ra 

$x_{1}=x_{2}=...=x_{m}=k$

$P_{min}=(k!)^{m}$

Nếu $n=km+l$ ($1\leq l\leq m-1$

Suy ra

$x_{1}=x_{2}=...=x_{l}=k+1$

$x_{l+1}=x_{l+2}=...=x_{l+n}=k$

Và $P_{min}=((k+1)!)^{l}.(k!)^{n-l}$

Với cách giải tương tự ta có thể giải dễ dàng các bài toán sau:

 

Ví dụ 15. Với $a,b$ là các số tự nhiên dương thỏa mãn $a+b=n$ cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất của

$P=a!+b!$

$Q=(a!)^{2}+(b!)^{2}$

$T=\sqrt{a!}+\sqrt{b!}$

Giải

Giả sử $a+b=n,a-b\geq 2$

Khi đó ta chứng minh các biểu thức trên không đạt giá trị nhỏ nhất

Thật vậy

Đặt $a_{1}=a-1,b_{1}=b+1$ ta có $a_{1}+b_{1}=n$ và chứng minh

1) $a!+b!>a_{1}!+b_{1}!=(a-1)!+(b+1)!$

$\Leftrightarrow (a-1)!(a-1)!>b!b!$ (Đúng)

2) $(a!)^{2}+(b!)^{2}>(a_{1}!)^{2}+(b_{1}!)^{2}=((a-1)!)^{2}+((b+1)!^{2}$

$\Leftrightarrow ((a-1)!)^{2}(a^{2}-1)>(b!)^{2}((b+1)^{2}-1)$ (Hiển nhiên đúng)

3) $\sqrt{a!}+\sqrt{b}!>\sqrt{a_{1}!}+\sqrt{b_{1}}=\sqrt{(a-1)!}+\sqrt{(b+1)!}$

$\Leftrightarrow \sqrt{(a-1)!}(\sqrt{a}-1)>\sqrt{b!}(\sqrt{b+1}-1)$ (Hiển nhiên đúng)

 

III. Bài tập đề nghị:

1. Với $a,b$ là các số tự nhiên dương thỏa mãn $a+2b=n$ cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất của

1) $P=(a!)(b!)^{2}$

2) $Q=(a!)^{2}+2(b!)^{2}$

3) $T=\sqrt{a!}+2\sqrt{b!}$

2. Với $0<k<500$, tìm giá trị nhỏ nhất của

1) $P=(k!)^{2}.(1000-2k)!$

2) $Q=2(k!)^{2}((1000-2k)!)^{2}$

3) $T=2\sqrt{k!}+\sqrt{(1000-2k)!}$

3. Với $a,b$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng:

$a\sqrt{a}+b\sqrt{b}\leq \sqrt{(a^{2}+b^{2})(a+b)}$

4. Với $a,b,c$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng

$a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\leq \sqrt{(ab+bc+ca)(a+b+c)}$

5. Với $a,b,c$ là những số tự nhiên dương, chứng minh rằng

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}$

 

- Lược trích quyển "Bất đẳng thức Cauchy" -

 

rainbow99

P/s:1) Đây là tài liệu dùng cho học sinh lớp 10 chuyên nhưng nếu ai có hứng thú cũng có thể tìm hiểu thêm.

      2) Các bạn cứ rủa mình đi, cuối cùng mình cũng làm xong rồi đó

 

Dinh Xuan Hung:Mình không chấp nhận yêu cầu xóa Topic của bạn mong bạn thông cảm!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 03-09-2015 - 22:00

[hoctrocuaHolmes]

 

Bất đẳng thức trên tập số nguyên

3. Với $a,b$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng:$a\sqrt{a}+b\sqrt{b}\leq \sqrt{(a^{2}+b^{2})(a+b)}$

Mở hàng trước cho chị Linh nhé 

3.$\Leftrightarrow (a\sqrt{a}+b\sqrt{b})^{2}\leq (a^{2}+b^{2})(a+b)\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+2\sqrt{a^{3}b^{3}}\leq a^{3}+b^{3}+a^{2}b+ab^{2}\Leftrightarrow 2\sqrt{a^{3}b^{3}}\leq a^{2}b+ab^{2}$ (luôn đúng theo AM-GM)

Dấu''='' xảy ra khi $a=b$

5. $\Leftrightarrow VT= \frac{a^{2}}{ab}+\frac{b^{2}}{bc}+\frac{c^{2}} {ca}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}$ (đúng theo Cauchy-Schwarz)

[LzuTao]

Gõ chiều giờ. Đây là file pđf tổng hợp lại bài trên

 

Version 2.0 (17/08/2015) Tải tại đây

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 17-08-2015 - 18:19

[Nguyen Minh Hai]

Ủng hộ Chuyên đề của chị một bài ( Dành cho THCS)

6.Chứng minh BĐT sau với mọi số $n$ nguyên dương

$\dpi{120} \sqrt[3]{(n+1)^2}-\sqrt[3]{n^2}<\frac{2}{3\sqrt[3]{n}}<\sqrt[3]{n^2}-\sqrt[3]{(n-1)^2}$

 

Spoiler

Em nghĩ là TOPIC BĐT trên tập số nguyên thì nên đưa thêm kiến thức về "Phần nguyên" và các bài tập dạng đó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 15-08-2015 - 22:06

[rainbow99]

Mở hàng trước cho chị Linh nhé 

3.$\Leftrightarrow (a\sqrt{a}+b\sqrt{b})^{2}\leq (a^{2}+b^{2})(a+b)\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+2\sqrt{a^{3}b^{3}}\leq a^{3}+b^{3}+a^{2}b+ab^{2}\Leftrightarrow 2\sqrt{a^{3}b^{3}}\leq a^{2}b+ab^{2}$ (luôn đúng theo AM-GM)

Dấu''='' xảy ra khi $a=b$

5. $\Leftrightarrow VT= \frac{a^{2}}{ab}+\frac{b^{2}}{bc}+\frac{c^{2}} {ca}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}$ (đúng theo Cauchy-Schwarz)

Chị chẳng hiểu sao lại đưa mấy BĐT kiểu này vào phần bài tập. Có lẽ là tác giả muốn ta phải áp dụng mấy BĐT ở trên để chứng minh

 

Gõ chiều giờ. Đây là file pđf tổng hợp lại bài trên

BDT So Nguyen.pdf

Anh xem hôm nào thêm luôn một số bài mới vào với lời giải luôn chứ giờ em chỉ post đề lên thôi

 

Ủng hộ Chuyên đề của chị một bài ( Dành cho THCS)

6.Chứng minh BĐT sau với mọi số $n$ nguyên dương

$\sqrt[3]{(n+1)^2}-\sqrt[3]{n^2}<\frac{2}{3\sqrt[3]{n}}<\sqrt[3]{n^2}-\sqrt[3]{(n-1)^2}$

 

Spoiler

Em nghĩ là TOPIC BĐT trên tập số nguyên thì nên đưa thêm kiến thức về "Phần nguyên" và các bài tập dạng đó

Cảm ơn Hải nhé.  Mình sẽ xem xét xem

 

Thêm bài tập nhé:

7. Tìm phần nguyên của số:

$S_{n}=\sqrt{2}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+\sqrt[4]{\frac{4}{3}}+...+\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}$

8. Cho $a,b,c$ nguyên dương. Chứng minh:

$a^{\frac{a}{a+b+c}}.b^{\frac{b}{a+b+c}}.c^{\frac{c}{a+b+c}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

9. Cho $n$ là số tự nhiên $\geq 2$. Chứng minh:

$\frac{\sqrt[n]{4}+\sqrt[n]{9}+\sqrt[n]{16}}{\sqrt[n]{6}+\sqrt[n]{8+\sqrt[n]{12}}}>\frac{\sqrt[n+1]{6}+\sqrt[n+1]{8}+\sqrt[n+1]{12}}{\sqrt[n+1]{4}+\sqrt[n+1]{9}+\sqrt[n+1]{16}}$

Tạm thời là thế đã Sẽ post lời giải + bài tập thêm sau 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rainbow99: 21-08-2015 - 20:09

[LzuTao]

Vì không thể sửa bài được nữa nên up tiếp tại đây vậy

 BDTSN.pdf   178.75K   285 Số lần tải

[CaptainCuong]

 

Bất đẳng thức trên tập số nguyên

 

3. Với $a,b$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng:

$a\sqrt{a}+b\sqrt{b}\leq \sqrt{(a^{2}+b^{2})(a+b)}$

 

 

 

Không biết yếu tố $a,b$ là các số tự nhiên ... dùng để làm gì nữa

Mình nghĩ chỉ cần dương là được

[rainbow99]

 

Không biết yếu tố $a,b$ là các số tự nhiên ... dùng để làm gì nữa

Mình nghĩ chỉ cần dương là được

 

yêu tố dương sẽ giúp cho bài toán trở nên khó hơn vì điểm rơi của nó phải là số dương

ngoài ra còn có thể phát triển thêm một số bài toán về lũy thừa nữa

[rainbow99]

III. Bài tập đề nghị:

1. Với $a,b$ là các số tự nhiên dương thỏa mãn $a+2b=n$ cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất của

1) $P=(a!)(b!)^{2}$

2) $Q=(a!)^{2}+2(b!)^{2}$

3) $T=\sqrt{a!}+2\sqrt{b!}$

2. Với $0<k<500$, tìm giá trị nhỏ nhất của

1) $P=(k!)^{2}.(1000-2k)!$

2) $Q=2(k!)^{2}((1000-2k)!)^{2}$

3) $T=2\sqrt{k!}+\sqrt{(1000-2k)!}$

3. Với $a,b$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng:

$a\sqrt{a}+b\sqrt{b}\leq \sqrt{(a^{2}+b^{2})(a+b)}$

4. Với $a,b,c$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng

$a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\leq \sqrt{(ab+bc+ca)(a+b+c)}$

5. Với $a,b,c$ là những số tự nhiên dương, chứng minh rằng

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}$

 

Chữa bài luôn sao chẳng có ai làm vậy

1. HD:

$a+2b=n \Leftrightarrow a+b+b=n$

$P=a!.b!.b!$

$Q=(a!)^{2}+(b!)^{2}+(b!)^{2}$

$T=\sqrt{a!}+\sqrt{b!}+\sqrt{b!}$

(Tương tự VD15)

2. Tương tự

4. Sử dụng BĐT:

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\sqrt{x_{i}}\leq \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}}$