Chủ đề này có 4 trả lời

[hoctrocuaHolmes]

Tìm các số nguyên dương $x,y$ thoả mãn $x^{y}=y^{x-y}$

[Minhnguyenthe333]

Tìm các số nguyên dương $x,y$ thoả mãn $x^{y}=y^{x-y}$

Nếu $x>y$ ta có $VT>VP$
Nếu $y>x$ thì vô nghiệm
Xét trường hợp $x=y$ ta có $x=y=1$ thoả mãn pt
Vậy $(x,y)=(1,1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 11-08-2015 - 09:04

[hoctrocuaHolmes]

Nếu $x>y$ ta có $VT>VP$
Nếu $y>x$ thì vô nghiệm
Xét trường hợp $x=y$ ta có $x=y=1$ thoả mãn pt
Vậy $(x,y)=(1,1)$

Sai nhé,đoạn này màu đỏ không chặt chẽ gì cả.Với lại còn thiếu nghiệm $(x;y)=(8;2);(9;3)$

[Minhnguyenthe333]

Sai nhé,đoạn này màu đỏ không chặt chẽ gì cả.Với lại còn thiếu nghiệm $(x;y)=(8;2);(9;3)$

Nhờ bạn giải giùm mình TH $x>y$

[Minhnguyenthe333]

Tìm các số nguyên dương $x,y$ thoả mãn $x^{y}=y^{x-y}$

$\iff (xy)^y=y^x\iff xy=y^{\frac{x}{y}}$ $(*)$

$TH1:$ $y\mid x$

Đặt $x=ky\implies (*)\iff y^2k=y^k\iff \sqrt[k-2]{k}=y$ 

Dễ thấy $(k,y)=(1,1);(3,3);(4,2)$

 

$TH2:$ $x \mid y$

Đặt $y=tx\implies (*)\iff \frac{y^2}{t}=y^{\frac{1}{t}}\iff t=y^{2-\frac{1}{t}}$

$\iff y^{2t-1}=t^t$, do đó $y=t^a$ với $a$ nguyên dương

$\iff t^t=t^{2at-a}\implies t=2at-a\iff \frac{1}{a}+\frac{1}{t}=2$ kéo theo $a=t=1$ hay $x=y=1$

 

Vậy $(x,y)=(1,1);(9,3);(8,2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 12-08-2016 - 14:29