Cho $a,b,c \in (0,1]$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a+b+c} \ge \frac{1}{3}+(1-a)(1-b)(1-c)$$
Cho $a,b,c \in (0,1]$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a+b+c} \ge \frac{1}{3}+(1-a)(1-b)(1-c)$$
Nguyễn Minh Đức
Lặng Lẽ
THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)
Cho $a,b,c \in (0,1]$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a+b+c} \ge \frac{1}{3}+(1-a)(1-b)(1-c)$$
Giả sử $1\geq a\geq b\geq c\geq 0$
Ta có: $\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{3}\geq (1-a)(1-b)(1-c)$
$<=>\frac{(1-a)+(1-b)+(1-c)}{3(a+b+c)}\geq (1-a)(1-b)(1-c)$
Từ giả sử suy ra: $VT\geq \frac{1-a}{a+b+c}$
Ta sẽ chứng minh: $\frac{1}{a+b+c}\geq (1-b)(1-c)<=>(1-b)(1-c)(a+b+c)\leq 1$
BĐT trên dễ dàng chứng minh bằng AM-GM
Cho $a,b,c \in (0,1]$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a+b+c} \ge \frac{1}{3}+(1-a)(1-b)(1-c)$$
Ta có : BĐT $\Leftrightarrow \frac{(1-a)+(1-b)+(1-c)}{3(a+b+c)}\geq (1-a)(1-b)(1-c)$
Giả sử $a\geq b\geq c$ thì $\frac{(1-a)+(1-b)+(1-c)}{3(a+b+c)}\geq \frac{3(1-a)}{3(a+b+c)}=\frac{1-a}{a+b+c}$
Nên ta chỉ cần chứng minh $(1-b)(1-c)(a+b+c)\leq 1$
Luôn đúng theo AM-GM $(1-b)(1-c)(a+b+c)\leq \frac{(a+2)^3}{27}\leq 1$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh