Cho $a,b,c \in (0,1]$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a+b+c} \ge \frac{1}{3}+(1-a)(1-b)(1-c)$$
Cho $a,b,c \in (0,1]$. Chứng minh rằng: $$\frac{1}{a+b+c} \ge \frac{1}{3}+(1-a)(1-b)(1-c)$$
Bắt đầu bởi NMDuc98, 11-08-2015 - 22:35
#1
Đã gửi 11-08-2015 - 22:35
NMDuc98
-
- Thành viên
-
- 314 Bài viết
Sĩ quan
Nguyễn Minh Đức
Lặng Lẽ
THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)
#2
Đã gửi 11-08-2015 - 22:45
Hoang Nhat Tuan
-
- Thành viên
-
- 974 Bài viết
Hỏa Long
Cho $a,b,c \in (0,1]$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a+b+c} \ge \frac{1}{3}+(1-a)(1-b)(1-c)$$
Giả sử $1\geq a\geq b\geq c\geq 0$
Ta có: $\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{3}\geq (1-a)(1-b)(1-c)$
$<=>\frac{(1-a)+(1-b)+(1-c)}{3(a+b+c)}\geq (1-a)(1-b)(1-c)$
Từ giả sử suy ra: $VT\geq \frac{1-a}{a+b+c}$
Ta sẽ chứng minh: $\frac{1}{a+b+c}\geq (1-b)(1-c)<=>(1-b)(1-c)(a+b+c)\leq 1$
BĐT trên dễ dàng chứng minh bằng AM-GM
- NMDuc98, Duong Nhi, Truong Gia Bao và 3 người khác yêu thích
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
#3
Đã gửi 11-08-2015 - 22:45
hoanglong2k
-
- Điều hành viên THCS
-
- 965 Bài viết
Trung úy
Cho $a,b,c \in (0,1]$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a+b+c} \ge \frac{1}{3}+(1-a)(1-b)(1-c)$$
Ta có : BĐT $\Leftrightarrow \frac{(1-a)+(1-b)+(1-c)}{3(a+b+c)}\geq (1-a)(1-b)(1-c)$
Giả sử $a\geq b\geq c$ thì $\frac{(1-a)+(1-b)+(1-c)}{3(a+b+c)}\geq \frac{3(1-a)}{3(a+b+c)}=\frac{1-a}{a+b+c}$
Nên ta chỉ cần chứng minh $(1-b)(1-c)(a+b+c)\leq 1$
Luôn đúng theo AM-GM $(1-b)(1-c)(a+b+c)\leq \frac{(a+2)^3}{27}\leq 1$
- NMDuc98, gianglqd, hoangyenmn9a và 1 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
