Chủ đề này có 2 trả lời

[eminemdech]

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh $\frac{a^2}{b^2c}+\frac{b^2}{c^2a}+\frac{c^2}{a^2b}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi eminemdech: 14-08-2015 - 19:16

[Minhnguyenthe333]

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh $\frac{a^2}{b^2c}+\frac{b^2}{c^2a}+\frac{c^2}{a^2b}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{a^3}{b}\geq \sum ab$

Ta có:$\sum \frac{a^3}{b}=\sum \frac{a^4}{ab}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca$

Vậy ta có đpcm.Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 14-08-2015 - 19:29

[81NMT23]

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh $\frac{a^2}{b^2c}+\frac{b^2}{c^2a}+\frac{c^2}{a^2b}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Sử dụng biến đổi tương đương:

$\frac{a^2}{b^2c}+\frac{b^2}{c^2a}+\frac{c^2}{a^2b}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

$\Leftrightarrow 2(\frac{a^2}{b^2c}+\frac{b^2}{c^2a}+\frac{c^2}{a^2b})\geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

$\Leftrightarrow 2(\frac{a^2}{b^2c}+\frac{b^2}{c^2a}+\frac{c^2}{a^2b})+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 3(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Có: $\frac{a^{2}}{bc}+\frac{b^{2}}{ca}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{c}$ ( theo BĐT Cauchy 3 số)

Tương tự suy ra đpcm

Dấu = xảy khi a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 14-08-2015 - 20:39
Kẹp dấu $$