Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi HSG toán 10 trường THPT chuyên KHTN (lần 1)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 20 trả lời

#1 the man

the man

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 589 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Y Hà Nội
  • Sở thích:Nhiều

Đã gửi 14-08-2015 - 19:24

TRƯỜNG PTTH CHUYÊN KHTN                                           ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10

    BỘ MÔN CHUYÊN TOÁN                                                             NĂM HỌC 2015-2016

                                                      Thời gian làm bài: 180 phút 

                                                        (Lần 1, ngày 14/08/2015)

Câu I. 1/  Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn:

$$x^2(y-1)+y^2(x-1)=1$$

         2/ Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có tính chất: với $a$ là ước nguyên dương bất kì của $n$ thì $a+1$ là ước của $n+1$.

Câu II. 1/ Giải hệ phương trình 

$$\left\{\begin{matrix}x(3y^2+1)=y^3+3y & & & \\ y(3z^2+1)=z^3+3z & & & \\ z(3x^2+1)=x^3+3x & & & \end{matrix}\right.$$

        2/ Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c \leq 3$.Tìm GTNN của:    

$$P=\frac{a+1}{a^2+3a}+\frac{b+1}{b^2+3b}+\frac{c+1}{c^2+3c}$$

Câu III. Cho tứ giác $ABCD$ không là hình thang và nội tiếp trong đường tròn $(O$. Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $E$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm $CD, BC,DA$. Gọi $(K)$ là đường tròn $(MNP)$. Gọi $L$ đối xứng với $O$ qua $K$.

     1/ Chứng minh $EL$ vuông góc $CD$

     2/ Gọi $I$ là tâm $(ECD)$. Giả sử $IK$ chia đôi $EL$. Chứng minh rằng khi đó $E$ nằm trên $(K)$

Câu IV. Hai bạn A,B chơi 1 trò chơi như sau. Bạn B chọn một số nguyên dương n tùy ý, bạn A chia 4030 số nguyên dương đầu tiên 1,2,3,..., 4030 thành 2015 cặp. Sau đó bạn B chọn trong mỗi cặp (mà A vừa chia) ra một số . Nếu tổng của các số được B chọn ra từ các cặp bằng n thì B thắng, trái lại thì A thắng. Chứng minh rằng với mỗi cách chọn số n của B thì A luôn có cách chia cặp để chắc chắn thắng.

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the man: 14-08-2015 - 19:26

"God made the integers, all else is the work of man."

                                                Leopold Kronecker


#2 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1395 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 14-08-2015 - 20:06

TRƯỜNG PTTH CHUYÊN KHTN                                           ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10

    BỘ MÔN CHUYÊN TOÁN                                                             NĂM HỌC 2015-2016

                                                      Thời gian làm bài: 180 phút 

                                                        (Lần 1, ngày 14/08/2015)

.

Câu II

        2/ Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c \leq 3$.Tìm GTNN của:    

$$P=\frac{a+1}{a^2+3a}+\frac{b+1}{b^2+3b}+\frac{c+1}{c^2+3c}$$

 

Spoiler

Câu II)

2.Ta sẽ đi chứng minh:$\frac{a+1}{a^2+3a}\geq \frac{1}{2}+\frac{3}{8}(1-a)\Leftrightarrow (1-a)^2\left [ \frac{3a+8}{8(a^2+3a)} \right ]\geq 0(LĐ)$

 

Vì vậy ta luôn có:$\Rightarrow \frac{a+1}{a^2+3a}\geq \frac{1}{2}+\frac{3}{8}(1-a)$

 

Chứng minh tương tự:$\frac{b+1}{b^2+3b}\geq \frac{1}{2}+\frac{3}{8}(1-b)$

 

$\frac{c+1}{c^2+3c}\geq \frac{1}{2}+\frac{3}{8}(1-c)$

 

$\Rightarrow P\geq \frac{3}{2}+\frac{3}{8}(3-a-b-c)\geq \frac{3}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 14-08-2015 - 20:11


#3 arsfanfc

arsfanfc

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10A1 -THPT LHP- Quảng Bình

Đã gửi 14-08-2015 - 20:08

TRƯỜNG PTTH CHUYÊN KHTN                                           ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10

    BỘ MÔN CHUYÊN TOÁN                                                             NĂM HỌC 2015-2016

                                                      Thời gian làm bài: 180 phút 

                                                        (Lần 1, ngày 14/08/2015)

 

        2/ Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c \leq 3$.Tìm GTNN của:    

$$P=\frac{a+1}{a^2+3a}+\frac{b+1}{b^2+3b}+\frac{c+1}{c^2+3c}$$

 

ta có : $\frac{a+1}{a^2+3a} -\frac{1}{2}+\frac{3}{8}(a-1) =\frac{(a-1)^2(3a+8)}{8(a^2+3a)} \geq 0$

$=> \frac{a+1}{a^2+3a} \geq \frac{1}{2}-\frac{3}{8}(a-1)$

$=> P \geq \frac{3}{2} -\frac{3}{8}(a+b+c-3) \geq \frac{3}{2}$


~YÊU ~


#4 bvptdhv

bvptdhv

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 364 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Nguyễn Du - Đăk Lăk
  • Sở thích:Nghe nhạc, bóng đá

Đã gửi 14-08-2015 - 20:13

Em xin phép làm câu 1
Ta có PT $<=> xy(x+y+2)=1+(x+y)^{2}$

Đặt $x+y=a$ và $xy=b$

$=>ab+2b=1+a^{2}$

Xét $a=-2=>0=5 (vô lý)$

Xét a khác -2, ta có $b=\frac{a^{2}+1}{a+2}=a+2-4+\frac{5}{a+2}=>a+2$ thuộc ước của 5

Với $a+2=5=>a=x+y=3;xy=b=2=>(x;y)=(1;2);(2;1)$

Với $a+2=1=>a=-1=x+y;b=xy=2=>vô nghiệm$

Với $a+2=-5=>a=-7=x+y;b=-10=xy=>vô nghiệm$

Với $a+2=-1=>a=-3=x+y;b=-10=xy=>(x;y)=(-5;2);(2;-5)$


visit my FBhttps://www.facebook...uivanphamtruong  %%-

<Like :like>  thay cho lời cảm ơn nhé = )


#5 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1395 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 14-08-2015 - 20:22

TRƯỜNG PTTH CHUYÊN KHTN                                           ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10

    BỘ MÔN CHUYÊN TOÁN                                                             NĂM HỌC 2015-2016

                                                      Thời gian làm bài: 180 phút 

                                                        (Lần 1, ngày 14/08/2015)

 

Câu II. 1/ Giải hệ phương trình 

$$\left\{\begin{matrix}x(3y^2+1)=y^3+3y & & & \\ y(3z^2+1)=z^3+3z & & & \\ z(3x^2+1)=x^3+3x & & & \end{matrix}\right.$$

     

Spoiler

Ta nhận thấy $x=y=z=1$ là một nghiệm của hệ

Nếu $x,y,z$ khác $1$

Vì vai trò của $x,y,z$ là như nhau nên giả sử $x=min\left \{ x;y;z \right \}\Rightarrow x\leq z$

Ta có:HPT tương đương với:$\left\{\begin{matrix} x=\dfrac{y^3+3y}{3y^2+1} & & & \\ y=\dfrac{z^3+3z}{3z^2+1} & & & \\ z=\dfrac{x^3+3x}{3x^2+1} & & & \end{matrix}\right.$

$x\leq z\Rightarrow \frac{y^3+3y}{3y^2+1}\leq \frac{x^3+3x}{3x^2+1}\Leftrightarrow \frac{(x-y)\left [ 3(xy-1)^2+(x-y)^2 \right ]}{(3x^2+1)(3y^2+1)}\geq 0\Rightarrow x\geq y$ 

mà $x\leq y\Rightarrow x=y$

Khi đó HPT trở thành:$\left\{\begin{matrix} x=\dfrac{z^3+3z}{3z^2+1} & & \\ z=\dfrac{x^3+3x}{3x^2+1} & & \end{matrix}\right.$

Lại có:$x\leq z\Rightarrow \frac{z^3+3z}{3z^2+1}\leq \frac{x^3+3x}{3x^2+1}\Leftrightarrow \frac{(x-z)\left [ 3(xz-1)^2+(x-z)^2 \right ]}{(3x^2+1)(3z^2+1)}\geq 0\Rightarrow x\geq z$

Mà $x\leq z\Rightarrow x=y=z$

Khi đó ta có:$x^3+3x=3x^3+x\Leftrightarrow x(x-1)(x+1)=0\Rightarrow \begin{bmatrix} x=y=z=1(KTM) & & & \\ x=y=z=0(TM) & & & \\ x=y=z=-1(TM) & & & \end{bmatrix}$

Vậy nghiệm của HPT là $(1;1;1);(0;0;0);(-1;-1;-1)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 14-08-2015 - 20:35


#6 hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 14-08-2015 - 21:01

Ta nhận thấy $x=y=z=1$ là một nghiệm của hệ

Nếu $x,y,z$ khác $1$

Vì vai trò của $x,y,z$ là như nhau nên giả sử $x=min\left \{ x;y;z \right \}\Rightarrow x\leq z$

Ta có:HPT tương đương với:$\left\{\begin{matrix} x=\dfrac{y^3+3y}{3y^2+1} & & & \\ y=\dfrac{z^3+3z}{3z^2+1} & & & \\ z=\dfrac{x^3+3x}{3x^2+1} & & & \end{matrix}\right.$

$x\leq z\Rightarrow \frac{y^3+3y}{3y^2+1}\leq \frac{x^3+3x}{3x^2+1}\Leftrightarrow \frac{(x-y)\left [ 3(xy-1)^2+(x-y)^2 \right ]}{(3x^2+1)(3y^2+1)}\geq 0\Rightarrow x\geq y$ 

mà $x\leq y\Rightarrow x=y$

Khi đó HPT trở thành:$\left\{\begin{matrix} x=\dfrac{z^3+3z}{3z^2+1} & & \\ z=\dfrac{x^3+3x}{3x^2+1} & & \end{matrix}\right.$

Lại có:$x\leq z\Rightarrow \frac{z^3+3z}{3z^2+1}\leq \frac{x^3+3x}{3x^2+1}\Leftrightarrow \frac{(x-z)\left [ 3(xz-1)^2+(x-z)^2 \right ]}{(3x^2+1)(3z^2+1)}\geq 0\Rightarrow x\geq z$

Mà $x\leq z\Rightarrow x=y=z$

Khi đó ta có:$x^3+3x=3x^3+x\Leftrightarrow x(x-1)(x+1)=0\Rightarrow \begin{bmatrix} x=y=z=1(KTM) & & & \\ x=y=z=0(TM) & & & \\ x=y=z=-1(TM) & & & \end{bmatrix}$

Vậy nghiệm của HPT là $(1;1;1);(0;0;0);(-1;-1;-1)$

 Đặt $f(a)=\frac{a^3+3a}{3a^2+1}\Rightarrow f'(a)=\frac{3(a^2-1)^2}{(3a^2+1)^2}\geq 0\Rightarrow f(a)$ đồng biến  

 Từ đó suy ra $x=y=z$



#7 Chris yang

Chris yang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 14-08-2015 - 22:05

Câu 1 phần 2 giải đơn giản như sau:

-Dễ thấy $n=1$ và $n$ là số nguyên tố lẻ thì thỏa mãn

-Xét $n$ là hợp số $(n\geq 2$). Ta viết $n=p_1^{a_1}...p_k^{a_k}$ 

Có $p_1^{a_1-1}...p_k^{a_k}$ cũng là 1 ước của $n$. Số $n$ là thỏa mãn nếu $p_1^{a_1-1}...p_k^{a_k}+1|p_1^{a_1}...p_k^{a_k}+1\Leftrightarrow p_1^{a_1-1}...p_k^{a_k}+1|p_1-1\Leftrightarrow p_1-1\geq p_1^{a_1-1}....p_k^{a_k}$ ( vô lý)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 14-08-2015 - 22:07


#8 viet nam in my heart

viet nam in my heart

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 242 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Vĩnh Phúc

Đã gửi 14-08-2015 - 22:13

Câu III

1. Gọi $X$ là giao điểm của $MP$ và $BD$ , $Y$ là giao điểm của $MN$ và $AC$. Khi đó $X$ là trung điểm $DE$ và $Y$ là trung điểm $CE$. $EXMY$ là hình bình hành. Gọi $J$ là giao điểm của $XY$ và $ME$ thì $J$ cũng là trung điểm của mỗi đường.

Lại có: $XP.XM=\frac{EA}{2}.\frac{EC}{2}=\frac{EA.EC}{4}=\frac{ED.EB}{4}=YM.YN$

Ta có: $XP.XM=\left |  KP^2-KX^2\right |$ , $YM.YN=\left | KN^2-KY^2 \right |$. Mà $KN=KP$ nên $KX=KY$ suy ra tam giác $KXY$ cân tại $K$ suy ra $KJ \perp XY \perp CD$

Kết hợp với $OM \perp CD$, $K$ là trung điểm của $OL$ và $J$ là trung điểm $EM$ suy ra $LE \perp CD$.(đpcm)

Untitledc6cfb.jpg

2.Ta chứng minh $L$ là trực tâm tam giác $CED$

Ta đi chứng minh $CL \perp MN \perp BD$. Qua $K$ kẻ trung trực $MN$ cắt $CB$ tại $Z$. Qua $O$ kẻ trung trực $BD$ cắt $BC$ tại $T$ thì chỉ cần chứng minh $Z$ là trung điểm $TC$

Khi đó tam giác $BDT$ cân tại $T$ và tam giác $NMZ$ cân tại $Z$. Mặt khác $\widehat{MNZ} = \widehat{DBT}$ nên  $\widehat{NZM} = \widehat{BTD}$

suy ra $MZ \parallel DT$ suy ra $Z$ là trung điểm $TC$. Từ đây suy ra đpcm.(Hình 1)

Khi $L$ là trực tâm tam giác $CED$ mà $I$ là tâm ngoại tiếp $CED$ và $M$ là trung điểm $CD$ nên ta có tính chất $IM=\frac{EL}{2}$

Gọi $F$ là trung điểm $EL$ suy ra $IMFE$ là hình bình hành suy ra $IF$ đi qua trung điểm $J$ của $EM$

Mà $IK$ đi qua $F$. Mặt khác $K,J$ cùng nằm trên trung trực của $XY$ nên $K$ trùng $J$ suy ra $KE$ = $KM$ nên $E$ nằm trên $(K)$

Untitled2.jpg


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 14-08-2015 - 22:26

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công." Isaac Newton

VMF's Marathon Hình học Olympic


#9 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 16-08-2015 - 15:46

Kết quả của bài hình có thể coi là một cách mở rộng đường tròn Euler cho tứ giác, có thể phát biểu gộp lại như sau

 

Cho tứ giác $ABCD$ không là hình thang và nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $E$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm $CD, BC,DA$. Gọi $K$ là tâm ngoại tiếp tam giác $MNP$. Gọi $L$ đối xứng với $O$ qua $K$. Chứng minh rằng $L$ là trực tâm tam giác $ECD$.

 

Khi $A,B$ và $E$ trùng nhau. Ta thu được đường tròn Euler cho tam giác.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanghung86: 16-08-2015 - 15:47


#10 the man

the man

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 589 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Y Hà Nội
  • Sở thích:Nhiều

Đã gửi 16-08-2015 - 16:18

Kết quả của bài hình có thể coi là một cách mở rộng đường tròn Euler cho tứ giác, có thể phát biểu gộp lại như sau

 

Cho tứ giác $ABCD$ không là hình thang và nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $E$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm $CD, BC,DA$. Gọi $K$ là tâm ngoại tiếp tam giác $MNP$. Gọi $L$ đối xứng với $O$ qua $K$. Chứng minh rằng $L$ là trực tâm tam giác $ECD$.

 

Khi $A,B$ và $E$ trùng nhau. Ta thu được đường tròn Euler cho tam giác.

Thầy là thầy Quang Hùng đúng ko ạ ??


"God made the integers, all else is the work of man."

                                                Leopold Kronecker


#11 Fr13nd

Fr13nd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:VN
  • Sở thích:toán, đá bóng, bơi

Đã gửi 28-09-2015 - 21:25

Câu III

1. Gọi $X$ là giao điểm của $MP$ và $BD$ , $Y$ là giao điểm của $MN$ và $AC$. Khi đó $X$ là trung điểm $DE$ và $Y$ là trung điểm $CE$. $EXMY$ là hình bình hành. Gọi $J$ là giao điểm của $XY$ và $ME$ thì $J$ cũng là trung điểm của mỗi đường.

Lại có: $XP.XM=\frac{EA}{2}.\frac{EC}{2}=\frac{EA.EC}{4}=\frac{ED.EB}{4}=YM.YN$

Ta có: $XP.XM=\left |  KP^2-KX^2\right |$ , $YM.YN=\left | KN^2-KY^2 \right |$. Mà $KN=KP$ nên $KX=KY$ suy ra tam giác $KXY$ cân tại $K$ suy ra $KJ \perp XY \perp CD$

Kết hợp với $OM \perp CD$, $K$ là trung điểm của $OL$ và $J$ là trung điểm $EM$ suy ra $LE \perp CD$.(đpcm)

Untitledc6cfb.jpg

2.Ta chứng minh $L$ là trực tâm tam giác $CED$

Ta đi chứng minh $CL \perp MN \perp BD$. Qua $K$ kẻ trung trực $MN$ cắt $CB$ tại $Z$. Qua $O$ kẻ trung trực $BD$ cắt $BC$ tại $T$ thì chỉ cần chứng minh $Z$ là trung điểm $TC$

Khi đó tam giác $BDT$ cân tại $T$ và tam giác $NMZ$ cân tại $Z$. Mặt khác $\widehat{MNZ} = \widehat{DBT}$ nên  $\widehat{NZM} = \widehat{BTD}$

suy ra $MZ \parallel DT$ suy ra $Z$ là trung điểm $TC$. Từ đây suy ra đpcm.(Hình 1)

Khi $L$ là trực tâm tam giác $CED$ mà $I$ là tâm ngoại tiếp $CED$ và $M$ là trung điểm $CD$ nên ta có tính chất $IM=\frac{EL}{2}$

Gọi $F$ là trung điểm $EL$ suy ra $IMFE$ là hình bình hành suy ra $IF$ đi qua trung điểm $J$ của $EM$

Mà $IK$ đi qua $F$. Mặt khác $K,J$ cùng nằm trên trung trực của $XY$ nên $K$ trùng $J$ suy ra $KE$ = $KM$ nên $E$ nằm trên $(K)$

Untitled2.jpg

ai giải thích hộ tại sao 2IM=EL ở phần b) với 


LENG KENG...


#12 Fr13nd

Fr13nd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:VN
  • Sở thích:toán, đá bóng, bơi

Đã gửi 28-09-2015 - 23:48

Câu 1 phần 2 giải đơn giản như sau:

-Dễ thấy $n=1$ và $n$ là số nguyên tố lẻ thì thỏa mãn

-Xét $n$ là hợp số $(n\geq 2$). Ta viết $n=p_1^{a_1}...p_k^{a_k}$ 

Có $p_1^{a_1-1}...p_k^{a_k}$ cũng là 1 ước của $n$. Số $n$ là thỏa mãn nếu $p_1^{a_1-1}...p_k^{a_k}+1|p_1^{a_1}...p_k^{a_k}+1\Leftrightarrow p_1^{a_1-1}...p_k^{a_k}+1|p_1-1\Leftrightarrow p_1-1\geq p_1^{a_1-1}....p_k^{a_k}$ ( vô lý)

đoạn $p_1^{a_1-1}...p_k^{a_k}+1|p_1^{a_1}...p_k^{a_k}+1\Leftrightarrow p_1^{a_1-1}...p_k^{a_k}+1|p_1-1\Leftrightarrow p_1-1\geq p_1^{a_1-1}....p_k^{a_k}$ là sao mình không hiểu


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Fr13nd: 28-09-2015 - 23:49

LENG KENG...


#13 lenhatsinh3

lenhatsinh3

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT An Nhơn 2
  • Sở thích:Pokemon, giải toán

Đã gửi 05-10-2015 - 13:31

TRƯỜNG PTTH CHUYÊN KHTN                                           ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10

    BỘ MÔN CHUYÊN TOÁN                                                             NĂM HỌC 2015-2016

                                                      Thời gian làm bài: 180 phút 

                                                        (Lần 1, ngày 14/08/2015)

 

Câu II

        2/ Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c \leq 3$.Tìm GTNN của:    

$$P=\frac{a+1}{a^2+3a}+\frac{b+1}{b^2+3b}+\frac{c+1}{c^2+3c}$$

 

   

$P=\sum \frac{1}{a+3}+\sum \frac{1}{a(a+3)}$

giả sử $a\geq b\geq c\Rightarrow \frac{1}{a}\leq \frac{1}{b}\leq \frac{1}{c};\frac{1}{a+3}\leq \frac{1}{b+3}\leq \frac{1}{c+3}$

do đó áp dụng BCS và Chebyshev ta có

$P\geq \frac{9}{a+b+c+9}+\frac{1}{3}(\sum \frac{1}{a})(\sum \frac{1}{a+3})$

$\geq \frac{9}{a+b+c+9}+\frac{1}{3}(\frac{9}{a+b+c})(\frac{9}{a+b+c+9})\geq \frac{3}{4}+\frac{3}{3}*\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

      :ukliam2:

            :ukliam2:

                  :ukliam2:

             :ukliam2:

        :ukliam2:  

     :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#14 Mai Thanh Huy

Mai Thanh Huy

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Đã gửi 24-06-2016 - 09:58

image.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Thanh Huy: 24-06-2016 - 10:00


#15 Monkeydluffy2k1

Monkeydluffy2k1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BÍ MẬT
  • Sở thích:TOÁN;HOT GIRL;lý; HÓA

Đã gửi 11-11-2016 - 09:46

câu hệ dùng hàm đẹp lun


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Monkeydluffy2k1: 11-11-2016 - 09:47


#16 Zeref

Zeref

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 458 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đồng Nai
  • Sở thích:...

Đã gửi 11-11-2016 - 11:18

Câu II)

2.Ta sẽ đi chứng minh:$\frac{a+1}{a^2+3a}\geq \frac{1}{2}+\frac{3}{8}(1-a)\Leftrightarrow (1-a)^2\left [ \frac{3a+8}{8(a^2+3a)} \right ]\geq 0(LĐ)$

 

Vì vậy ta luôn có:$\Rightarrow \frac{a+1}{a^2+3a}\geq \frac{1}{2}+\frac{3}{8}(1-a)$

 

Chứng minh tương tự:$\frac{b+1}{b^2+3b}\geq \frac{1}{2}+\frac{3}{8}(1-b)$

 

$\frac{c+1}{c^2+3c}\geq \frac{1}{2}+\frac{3}{8}(1-c)$

 

$\Rightarrow P\geq \frac{3}{2}+\frac{3}{8}(3-a-b-c)\geq \frac{3}{2}$

Cho em hỏi làm sao để nhận ra dấu hiệu này vậy ạ ?



#17 IHateMath

IHateMath

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Olympiad Math & Computer Sci

Đã gửi 11-11-2016 - 20:37

Cho em hỏi làm sao để nhận ra dấu hiệu này vậy ạ ?

Đây là phương pháp tiếp tuyến bạn ạ.

#18 Monkeydluffy2k1

Monkeydluffy2k1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BÍ MẬT
  • Sở thích:TOÁN;HOT GIRL;lý; HÓA

Đã gửi 11-11-2016 - 22:33

Đây là phương pháp tiếp tuyến bạn ạ.

UCT nhanh hơn đấy; tiếp tuyến dùng mấy bài phức tạp hơn

 

Cho em hỏi làm sao để nhận ra dấu hiệu này vậy ạ ?



#19 Monkeydluffy2k1

Monkeydluffy2k1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BÍ MẬT
  • Sở thích:TOÁN;HOT GIRL;lý; HÓA

Đã gửi 11-11-2016 - 22:36

Đây là phương pháp tiếp tuyến bạn ạ.

vs cả lp 10 chưa học đạo hàm ^^



#20 redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:wild animal, furry

Đã gửi 19-11-2016 - 00:03

Câu IV:

Chia $(1;2);(3;4);...;(2k-1;2k);...(4029;4030)$, ta chỉ cần xét khoảng $[2015^2;2015^2+2015]$.

Chia $(1;2016);(2;2017);...;(k;2015+k);,,,;(2015;4030)$, ta chỉ cần xét hai số $2015^2;2015^2+2015$(xét đồng dư modulo $2015$).

Chia $(1;4030);(2;4);(3;5);...(4k-2;4k);(4k-1;4k+1);...(4026;4028);(4027;4029)$, ta được các số chẵn nhỏ hơn $2015^2+2015$ và các số lẻ lớn hơn $2015^2$, loại được hai số trên.

(Q.E.D)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 19-11-2016 - 20:25





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh