Chủ đề này có 10 trả lời

[haiyen8a]

1. Tìm các số nguyên tố x, y thỏa mãn: $x^2 -2y^2 =1$

2. Cho $A=n^{2015}+n^{2014}+1$ tìm tất cả các số tự nhiên n để A là số nguyên tố

[Minhnguyenthe333]

1. Tìm các số nguyên tố x, y thỏa mãn: $x^2 -2y^2 =1$

$PT\Leftrightarrow x^2=2y^2+1$.Vì $x^2$ là số chính phương lẻ
$\Rightarrow x^2=2y^2+1\equiv 1(mod 4)$ mà $y$ nguyên tố
$\Rightarrow y=2,x=3$

[Silverbullet069]

1. Tìm các số nguyên tố x, y thỏa mãn: $x^2 -2y^2 =1$

Lời giải từ vn.answers.yahoo.com

Biến đổi biểu thức tương đương, ta có : $\frac{x^2 - 1}{2} = y^2$
Lại có : x,y nguyên dương.

$\Rightarrow x >y$ và x phải là số lẽ.
Từ đó đặt $x = 2k+1$ (k nguyên dương)
Ta có biểu thức tương đương : $2k(k+1)=y^2 (*)$
Để ý rằng: y là 1 số nguyên tố nên $y^2$ sẽ là 1 số nguyên dương mà nó có duy nhất 3 ước là {1 ; y ; y^2}
Từ (*) dễ thấy $y^2 \vdots 2 \Rightarrow y=2 \Rightarrow k=1 \Rightarrow x=3$
Vậy ta chỉ tìm được 1 cặp số nguyên tố thoả mãn bài ra là x=3 và y=2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 16-08-2015 - 11:49

[Nxb]

Các em thử giải bài này trên $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}$ xem.

[Silverbullet069]

Các em thử giải bài này trên $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}$ xem.

Trên $\mathbb{N}$ còn chưa xong nói gì đến $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 16-08-2015 - 11:04

[haiyen8a]

Lời giải từ vn.answers.yahoo.com

Biến đổi biểu thức tương đương, ta có : $\frac{x^2 - 1}{2} = y^2$
Lại có : x,y nguyên dương.

$\Rightarrow x >y$ và x phải là số lẽ.
Từ đó đặt $x = 2k+1$ (k nguyên dương)
Ta có biểu thức tương đương : $2k(k+1)=y^2 (*)$
Để ý rằng: y là 1 số nguyên tố nên $y^2$ sẽ là 1 số nguyên dương mà nó có duy nhất 3 ước là {1 ; y ; y^2}
Từ (*) dễ thấy $y^2 \vdots 2 \Rightarrow y^2 \neq 2 \Rightarrow y=2 \Rightarrow k=1 \Rightarrow x=3$
Vậy ta chỉ tìm được 1 cặp số nguyên tố thoả mãn bài ra là x=3 và y=2

$y^2\vdots 2\Rightarrow y^2\neq 2\Rightarrow y=2$.

Giải thích cho mình câu đó đi. Mình chưa hiểu lắm

[Silverbullet069]

$y^2\vdots 2\Rightarrow y^2\neq 2\Rightarrow y=2$.

Giải thích cho mình câu đó đi. Mình chưa hiểu lắm

Có : $2k(k + 1) = y^2$

$\Rightarrow y^2 \vdots 2$

Lại có : $y^2$ là số chính phương

$\Rightarrow y^2$ lẻ (y nguyên tố $\neq 2$)

    $y^2$ chẵn $\Leftrightarrow y = 2$

TH1 : $y^2$ lẻ

$\Rightarrow y^2$ không $\vdots$ 2 (KTMĐK$

Vậy chỉ còn $y^2$ chẵn $\Leftrightarrow y = 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 16-08-2015 - 11:30

[Le Dinh Hai]

2. Cho $A=n^{2015}+n^{2014}+1$ tìm tất cả các số tự nhiên n để A là số nguyên tố

Ta có:$A=n^{2015}+n^{2014}+1=(n^{2}+n+1)(n^{2013}-n^{2011}+n^{2010}+...+1)$

Để $A$ là $SNT$ =>$n^{2}+n+1=1$ hoặc phần còn lại $=1$

=>$n=0$ or $n=1$

Mà $n=0$thì $A=1$vô lí

nên chỉ có $n=1$

[meomunsociu]

Bài 1: 

ta có : $x^{2}-2y^{2}=1$

<=> $(x-1)(x+1)=2y^{2}$ (*)

Vì $(x-1) và (x+1)$ cùng tính chẵn lẻ mà VP của (*) chia hết cho 2 

nên $(x-1)$ và $(x+1)$ là số chẵn 

suy ra VT chia hết cho 4 

=> $2y^{2}$ chia hết cho 4

=> $y^{2}$ chia hết cho 2

Mặt khác y là số nguyên tố nên y=2 

=> x=3

[dogsteven]

Bài 1. 

Trên $\mathbb{Q}$:

Đặt $y=k(x-1)$ thì $x^2-2k^2(x-1)^2=1\Leftrightarrow (x-1)((2k^2-1)x-2k^2-1)=0$ nên $x=1$ hoặc $x=\dfrac{2k^2+1}{2k^2-1}$

Nếu $x=1$ thì $y=0$. Nếu $x=\dfrac{2k^2+1}{2k^2-1}$ thì $y=\dfrac{2k}{2k^2-1}$

Trên $\mathbb{Z}$: đây là phương trình Pell.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 17-08-2015 - 10:25

[ngocsangnam15]

Bài 1:

Từ  : x²-2y² = 1 suy ra  x²-1=2y²

Nếu x chia hết cho 3 vì x nguyên tố nên x=3 lúc đó y=2(thỏa mãn)

Nếu x không chia hết cho 3 thì x²-1 chia hết cho 3 do  2y² chia hết cho 3 Mà (2;3)=1 nên y chia hết cho 3 khi đó x²=19 (không thỏa mãn)

Vậy (x;y) =( 2;3)