Chủ đề này có 7 trả lời

[phamhuy1801]

1, Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a^4+b^4+c^4=3$. Chứng minh:

 

$\dfrac{1}{4-ab}+\dfrac{1}{4-bc}+\dfrac{1}{4-ca} \le 1$

 

2, Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:

 

$a, \dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3} \le \dfrac{1}{2}$

 

$b, \dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)} \ge \dfrac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamhuy1801: 17-08-2015 - 11:13

[Hoang Nhat Tuan]

 

1, Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a^4+b^4+c^4=3$. Chứng minh:

 

$\dfrac{1}{4-ab}+\dfrac{1}{4-bc}+\dfrac{1}{4-ca} \le 1$

 

2, Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:

 

$a, \dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3} \le \dfrac{1}{2}$

 

$b, \dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)} \ge \dfrac{1}{3}$

 

Câu 1 đã có ở Đây

[hoctrocuaHolmes]

 

1, Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a^4+b^4+c^4=3$. Chứng minh:

 

$\dfrac{1}{4-ab}+\dfrac{1}{4-bc}+\dfrac{1}{4-ca} \le 1$

1. Đã có ở Đây và Đây

[Issac Newton of Ngoc Tao]

Câu 2. phần b: 

$VT\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}+b^{2}+1+2}\leq \frac{1}{2}(\sum \frac{1}{ab+b+1})= \frac{1}{2}(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab^{2}c+ab+1}+\frac{b}{abc+b+ab})= \frac{1}{2}$

[royal1534]

Câu 3 thử(a,b,c)=(1,1,1).Đề sai      

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 16-08-2015 - 22:30

[royal1534]

$\dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)} $ =$\frac{\frac{1}{a^{2}}}{a(b+c)}$+$\frac{\frac{1}{b^{2}}}{b(a+c)}$+$\frac{\frac{1}{c^{2}}}{c(a+b)}$   $\geq$ $\frac{\frac{(ab+bc+ca)^{2}}{(abc)^{2}}}{2(ab+bc+ca)}$= $\frac{ab+bc+ca}{2}$$\geq$ $\frac{3}{2}$  

[hoangson2598]

 

1, Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a^4+b^4+c^4=3$. Chứng minh:

 

$\dfrac{1}{4-ab}+\dfrac{1}{4-bc}+\dfrac{1}{4-ca} \le 1$

 

2, Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:

 

$a, \dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3} \le \dfrac{1}{2}$

 

$b, \dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)} \ge \dfrac{1}{3}$

 

Phần b câu 2 phải là:

Cho $abc=1$ Chứng minh:  $\dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)} \ge \dfrac{3}{2}$

[Dinh Xuan Hung]

 

 

2, Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:

 

$b, \dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)} \ge \dfrac{1}{3}$

 

Vì $abc=1$ nên ta đặt $\left\{\begin{matrix} a=\dfrac{1}{x} & & & \\ b=\dfrac{1}{y} & & & \\ c=\dfrac{1}{z} & & & \end{matrix}\right.(x,y,z>0)\Rightarrow xyz=1$

Khi đó:$\sum \frac{1}{a^3(b+c)}=\sum \frac{1}{\dfrac{1}{x^3}\left ( \dfrac{1}{y} +\dfrac{1}{z}\right )}=\sum \frac{x^3yz}{y+z}=\sum \frac{x^4}{xy+yz}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{2(xy+yz+xz)}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{2(x^2+y^2+z^2)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\geq\frac{3\sqrt[3]{(xyz)^2}}{2}=\frac{3}{2}$

 

Spoiler

Đề phải là chứng minh $\dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)} \ge \dfrac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 17-08-2015 - 06:22