Cho $x^{2}+y^{2}=1$.TÌm GTLN,GTNN của S=(2-x)(2-y)
TÌm GTLN,GTNN của S=(2-x)(2-y)
#1
Đã gửi 17-08-2015 - 09:59
#2
Đã gửi 17-08-2015 - 12:24
(2-x)(2-y)=4-2y-2x+xy.
$x^{2}+y^{2}$$\geq$$2xy$.Suy ra xy$\leq \frac{1}{2}$
$x+y\geq 2\sqrt{xy} \Rightarrow x+y\geq \frac{2}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow 2(x+y)\geq \frac{4}{\sqrt{2}}$
Suy ra $(2-x)(2-y)\leq 4+\frac{1}{2}-\frac{4}{\sqrt{2}}$=.....
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhtukhon1: 17-08-2015 - 12:27
- songviae, hoangyenmn9a và Silverbullet069 thích
#3
Đã gửi 17-08-2015 - 15:33
(2-x)(2-y)=4-2y-2x+xy.
$x^{2}+y^{2}$$\geq$$2xy$.Suy ra xy$\leq \frac{1}{2}$
$x+y\geq 2\sqrt{xy} \Rightarrow x+y\geq \frac{2}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow 2(x+y)\geq \frac{4}{\sqrt{2}}$
Suy ra $(2-x)(2-y)\leq 4+\frac{1}{2}-\frac{4}{\sqrt{2}}$=.....
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$
Phần màu đỏ hình như không ổn $xy\leq \frac{1}{2}$ thì chưa chắc $x+y\geq \frac{2}{\sqrt{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gianglqd: 17-08-2015 - 15:34
- hoangson2598, songviae và CaptainCuong thích
Mabel Pines - Gravity Falls
#4
Đã gửi 17-08-2015 - 17:36
Mình mới tìm ra min thôi:
Ta có:
$2S= 8+2xy-4(x+y)\Leftrightarrow 2S+1= (x+y)^{2}-4(x+y)+8\geq 4$
$\Leftrightarrow S\geq \frac{3}{2}.$
"Attitude is everything"
#5
Đã gửi 17-08-2015 - 21:10
Mình mới tìm ra min thôi:
Ta có:
$2S= 8+2xy-4(x+y)\Leftrightarrow 2S+1= (x+y)^{2}-4(x+y)+8\geq 4$
$\Leftrightarrow S\geq \frac{3}{2}.$
Xem lại dấu "="
Biến đổi như trên thì ta chỉ cần phải tìm min, max của : $(x+y)^2-4(x+y)+4=(2-x-y)^2$
Dễ dàng nhận thấy $2>x+y$ nên ta chỉ phải tìm min, max của $2-x-y>0$
Mà $(x+y)^2=1+2xy\leq 1+\frac{(x+y)^2}{2}<=>(x+y)^2\leq 2<=> -\sqrt{2}\leq x+y\leq \sqrt{2}$
Vậy $S_{min}$ khi $x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $S_{max}$ khi $x=y=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZzNightWalkerZz: 17-08-2015 - 21:16
- songviae yêu thích
.
Reaper
.
.
The god of carnage
#6
Đã gửi 17-08-2015 - 21:40
Phần màu đỏ hình như không ổn $xy\leq \frac{1}{2}$ thì chưa chắc $x+y\geq \frac{2}{\sqrt{2}}$
Ổn mà thay xy vào là ok
Tại vì để Max mà
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhtukhon1: 17-08-2015 - 21:59
#7
Đã gửi 17-08-2015 - 21:45
Xem lại dấu "="
Biến đổi như trên thì ta chỉ cần phải tìm min, max của : $(x+y)^2-4(x+y)+4=(2-x-y)^2$
Dễ dàng nhận thấy $2>x+y$ nên ta chỉ phải tìm min, max của $2-x-y>0$
Mà $(x+y)^2=1+2xy\leq 1+\frac{(x+y)^2}{2}<=>(x+y)^2\leq 2<=> -\sqrt{2}\leq x+y\leq \sqrt{2}$
Vậy $S_{min}$ khi $x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $S_{max}$ khi $x=y=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
Xin lỗi nha mình quên không nhìn dấu bằng
Mà đoạn màu đỏ không cần dài vậy đâu:
Có: $(x+y)^{2}\leq 2(x^{2}+y^{2})=2$
"Attitude is everything"
#8
Đã gửi 18-08-2015 - 15:00
Ổn mà thay xy vào là ok
Tại vì để Max mà
thử x=y=1/2
Mabel Pines - Gravity Falls
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh