Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{(1-ab)^2}{(a-b)^2}+\frac{(1-bc)^2}{(b-c)^2}+\frac{(1-ca)^2}{(c-a)^2}\geq2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
ThienYet

ThienYet

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết

cho $a,b,c>0$ chứng minh

 $\frac{(1-ab)^2}{(a-b)^2}+\frac{(1-bc)^2}{(b-c)^2}+\frac{(1-ca)^2}{(c-a)^2}\geq2$



#2
phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết

cho $a,b,c>0$ chứng minh

 $\frac{(1-ab)^2}{(a-b)^2}+\frac{(1-bc)^2}{(b-c)^2}+\frac{(1-ca)^2}{(c-a)^2}\geq2$

Thực ra bài này chỉ áp dụng đẳng thức quen thuộc:

$\sum \frac{1-ab}{a-b}.\frac{1-bc}{b-c}=-1$ ( chỉ cần biến đổi là ra )

$\sum \frac{(1-ab)^{2}}{(a-b)^{2}}= \left ( \frac{1-ab}{a-b}+\frac{1-bc}{b-c}+\frac{1-ca}{c-a} \right )^{2}-2.\sum \left ( \frac{1-ab}{a-b}.\frac{1-bc}{b-c} \right )\geq (-2).(-1)=2$



#3
Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết

cho $a,b,c>0$ chứng minh

 $\frac{(1-ab)^2}{(a-b)^2}+\frac{(1-bc)^2}{(b-c)^2}+\frac{(1-ca)^2}{(c-a)^2}\geq2$

Có thể tham khảo tại Đây


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 17-08-2015 - 21:29

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#4
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

cho $a,b,c>0$ chứng minh

 $\frac{(1-ab)^2}{(a-b)^2}+\frac{(1-bc)^2}{(b-c)^2}+\frac{(1-ca)^2}{(c-a)^2}\geq2$

 

Từ đẳng thức

\[\sum \left(\frac{1 - ab}{a - b}\right)^2 - 2 = \frac{\left[(b-c)^2(1-a^2)+(c-a)^2(1-b^2)+(a-b)^2(1-c^2)\right]^2}{4(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}.\]

Ta suy ra điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 18-08-2015 - 11:34

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#5
ThienYet

ThienYet

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết

cho mình hỏi tiếp bài này!  :D

cho $a,b,c>0$ chứng minh

 $\frac{a^2}{(a-b)^2}+\frac{b^2}{(b-c)^2}+\frac{c^2}{(c-a)^2}\geq1$



#6
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

cho mình hỏi tiếp bài này!  :D

cho $a,b,c>0$ chứng minh

 $\frac{a^2}{(a-b)^2}+\frac{b^2}{(b-c)^2}+\frac{c^2}{(c-a)^2}\geq1$

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

\[\sum \frac{a^2}{(a-b)^2} \geqslant \frac{[a(a-c)+b(b-a)+c(c-b)]^2}{(a-b)^2(a-c)^2+(b-c)^2(b-a)^2+(c-a)^2(c-b)^2} = 1.\]

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 22-08-2015 - 22:05

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh