Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyenthithuyvan]

1.Cho $a,b,c>0$.CMR:

a)$(2a+1)(2b+1)(ab+3)\geq 48ab$

b)$a^{2}(1+b^{2})+b^{2}(1+c^{2})+c^{2}(1+a^{2})\geq 6abc$

2.Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$.CMR:

$\sqrt{9a+1}+\sqrt{9b+1}+\sqrt{9c+1}\leq 6$

 

File gửi kèm

•  untitled.bmp   2.25MB   19 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 18-08-2015 - 09:25

[hoctrocuaHolmes]

1.Cho $a,b,c>0$.CMR:

a)$(2a+1)(2b+1)(ab+3)\geq 48ab$

b)$a^{2}(1+b^{2})+b^{2}(1+c^{2})+c^{2}(1+a^{2})\geq 6abc$

2.Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$.CMR:

$\sqrt{9a+1}+\sqrt{9b+1}+\sqrt{9c+1}\leq 6$

1. b) Áp dụng AM-GM ta có 

$\left\{\begin{matrix} a^{2}(1+b^{2})\geq 2a^{2}b & & \\ b^{2}(1+c^{2})\geq 2b^{2}c & & \\ c^{2}(1+a^{2})\geq 2c^{2}a & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow a^{2}(1+b^{2})+b^{2}(1+c^{2})+c^{2}(1+a^{2})\geq 2a^{2}b+2b^{2}c+2c^{2}a\geq 3\sqrt[3]{2^{3}a^{3}b^{3}c^{3}}=3.2abc=6abc$

Dấu''='' xảy ra khi $a=b=c$

a) Đề đúng phải là $(2a+1)(2b+3)(ab+3)\geq 48ab$ chứ bạn nhỉ 

Áp dụng AM-GM ta có 

$\left\{\begin{matrix} 2a+1\geq 2\sqrt{2a} & & \\ 2b+3\geq 2\sqrt{6b} & & \\ ab+3\geq 2\sqrt{3ab} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow (2a+1)(2b+3)(ab+3)\geq 2^{3}.\sqrt{2.3.6.a^{2}b^{2}}=48ab$

2. Áp dụng Bunhiacopxki ta có 

$(\sqrt{9a+1}+\sqrt{9b+1}+\sqrt{9c+1})^{2}\leq (1+1+1)(9a+9b+9c+3)=3(9+3)=36\Leftrightarrow \sqrt{9a+1}+\sqrt{9b+1}+\sqrt{9c+1}\leq 6$

Dấu''='' xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 18-08-2015 - 09:39