Chủ đề này có 1 trả lời

[microwavest]

CHo tam giác ABC có số đo các góc A, B, C lần lượt lập thành cấp số nhân với công bội là q=2. CHứng minh: $\dfrac{1}{sinA}=\dfrac{1}{sinB} + \dfrac{1}{sinC}$

[LzuTao]

CHo tam giác ABC có số đo các góc A, B, C lần lượt lập thành cấp số nhân với công bội là q=2. CHứng minh: $\dfrac{1}{sinA}=\dfrac{1}{sinB} + \dfrac{1}{sinC}$

Gọi số đo góc nhỏ nhất là $x$, ta có $x+2x+4x=\pi\implies \sin 4x>\sin x; \sin 2x>\sin x$

Vì $\dfrac{1}{\sin A}=\dfrac{1}{\sin B} + \dfrac{1}{\sin C}\implies \left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sin A}>\frac{1}{\sin B}\\ \frac{1}{\sin A}>\frac{1}{\sin C} \end{matrix}\right.\implies\left\{\begin{matrix} \sin B>\sin A\\\sin C>\sin A \end{matrix}\right.\implies$ góc $A$ nhỏ nhất.

Không mất tính tổng quát, giả sử $C$ là góc lớn nhất

Từ đó suy ra $B=2A$ và $C=2B$

Ta chứng minh bổ đề nếu $\angle B=2\angle A\iff b^2-a^2=ac$ (tương tự trường hợp $C=2B$ thì $c^2-b^2=ba$)

$b^2-a^2=ac\iff \sin^2B-\sin^2 A=\sin A\sin C\iff \sin(B-A)\sin(B+A)=\sin A\sin(B+A)\\\iff \sin(B-A)=\sin A\iff B=2A$

Cộng lại ta được: $c^2-a^2=a(b+c)$

Ta có: $\dfrac{1}{\sin A}=\dfrac{1}{\sin B} + \dfrac{1}{\sin C}\\\iff \frac1a=\frac1b+\frac1c\\\iff bc=a(b+c)$

Ta phải chứng minh $c^2-a^2=bc\\\iff \sin ^2C-\sin^2 A=\sin B\sin C\\\iff \sin(C-A)\sin(C+A)=\sin(C+A)\sin C\\\iff \sin(C-A)=\sin C\\\iff C-A=\pi-C\\\iff 2C-A=\pi\\\iff 7A=\pi \text{ (đúng với giả thuyết)}$

Vậy ta có dpcm.

P/s: Hơi bị thiếu logic chút, để bổ sung sau.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 18-08-2015 - 19:20