Chủ đề này có 6 trả lời

[ThienYet]

cho $a,b,c>0$ chứng minh

 $\frac{a^2}{(a-b)^2}+\frac{b^2}{(b-c)^2}+\frac{c^2}{(c-a)^2}\geq1$

[quangnghia]

cho $a,b,c>0$ chứng minh

 $\frac{a^2}{(a-b)^2}+\frac{b^2}{(b-c)^2}+\frac{c^2}{(c-a)^2}\geq1$

Đặt $\frac{a}{a-b}=x, \frac{b}{b-c}=y, \frac{c}{c-a}=z$

$\frac{a}{a-b}=x$

$\Rightarrow \frac{1}{1-\frac{b}{a}}=x$

$\Rightarrow 1-\frac{b}{a}=\frac{1}{x}$

$\Rightarrow 1-\frac{1}{x}=\frac{b}{a}$

Tương tự ta có $1-\frac{1}{y}=\frac{c}{b},1-\frac{1}{z}=\frac{a}{c}$

$\Rightarrow (1-\frac{1}{x})(1-\frac{1}{y})(1-\frac{1}{z})=1$

$\Rightarrow (x-1)(y-1)(z-1)= xyz$

$\Rightarrow x+y+z= xy+yz+xz+1$

$\Rightarrow 2(x+y+z)= 2(xy+yz+zx)+2$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(x+y+z)= (x+y+z)^{2}+2$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}= (x+y+z)^{2}-2(x+y+z)+2= (x+y+z-1)^{2}+1\geq 1$ (Điều phải chứng minh)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangnghia: 19-08-2015 - 17:43

[hoctrocuaHolmes]

cho $a,b,c>0$ chứng minh

 $\frac{a^2}{(a-b)^2}+\frac{b^2}{(b-c)^2}+\frac{c^2}{(c-a)^2}\geq1$

Bài này khá giống đề thi IMO 2008,bạn có thể tham khảo ở bài số 2

[nmuyen2001]

Đặt $\frac{a}{a-b}=x, \frac{b}{b-c}=y, \frac{c}{c-a}=z$

$\frac{a}{a-b}=x$

$\Rightarrow \frac{1}{1-\frac{b}{a}}=x$

$\Rightarrow 1-\frac{b}{a}=\frac{1}{x}$

$\Rightarrow 1-\frac{1}{x}=\frac{b}{a}$

Tương tự ta có $1-\frac{1}{y}=\frac{c}{b},1-\frac{1}{z}=\frac{a}{c}$

$\Rightarrow (1-\frac{1}{x})(1-\frac{1}{y})(1-\frac{1}{z})=1$

$\Rightarrow (x-1)(y-1)(z-1)\geq xyz$

$\Rightarrow x+y+z\geq xy+yz+xz+1$

$\Rightarrow 2(x+y+z)\geq 2(xy+yz+zx)+2$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(x+y+z)\geq (x+y+z)^{2}+2$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq (x+y+z)^{2}-2(x+y+z)+2\geq (x+y+z-1)^{2}+1\geq 1$ (Điều phải chứng minh)

cho em hỏi dòng thứ 8 sao lại đổi dấu "=" thành dấu "$\geq$" 

[quangnghia]

cho em hỏi dòng thứ 8 sao lại đổi dấu "=" thành dấu "$\geq$" 

Mình đã sữa

[Nguyenhuyen_AG]

cho $a,b,c>0$ chứng minh

 $\frac{a^2}{(a-b)^2}+\frac{b^2}{(b-c)^2}+\frac{c^2}{(c-a)^2}\geq1$

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

\[\sum \frac{a^2}{(a-b)^2} \geqslant \frac{[a(a-c)+b(b-a)+c(c-b)]^2}{(a-b)^2(a-c)^2+(b-c)^2(b-a)^2+(c-a)^2(c-b)^2} = 1.\]

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 22-08-2015 - 22:06

[TruongQuangTan]

cho $a,b,c>0$ chứng minh

 $\frac{a^2}{(a-b)^2}+\frac{b^2}{(b-c)^2}+\frac{c^2}{(c-a)^2}\geq1$

$\frac{a^2}{(a-b)^2}+\frac{b^2}{(b-c)^2}+\frac{c^2}{(a-c)^2}\geq1$  $\geq \frac{ab}{(a-b)(b-c)} + \frac{bc}{(b-c)(a-c)} + \frac{ca}{(a-b)(a-c)}$

                                                                                       =$\frac{ab(a-b)+bc(b-c)+ca(a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)}$

                                                                                       =$\frac{ab(a-b)+b^{2}c-bc^{2}+c^{2}a- ca^{2}}{(a-b)(b-c)(a-c)}$

                                                                                       =$\frac{ab(a-b)+c((b^{2}-a^{2})-c(b-a))}{(a-b)(b-c)(a-c)}$

                                                                                       =$\frac{(b-a)(bc+ca-c^{2}-ab)}{(a-b)(b-c)(a-c)}$

                                                                                       =$\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} = 1 (dpcm)$