Đến nội dung

Hình ảnh

​$\frac{e^x}{(x+1)^2}=x$

- - - - - pt kim văn hùng

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
19kvh97

19kvh97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 423 Bài viết

Chứng minh phương trình sau có nghiệm duy nhất $\alpha \epsilon (\frac{1}{2};1)$
$\frac{e^x}{(x+1)^2}=x$



#2
ttlinhtinh

ttlinhtinh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

Với $x\in (\frac{1}{2};1)$ phương trình đã cho tương đương với:

$e^x=x(x+1)^2$ (*)

Đặt $f(x)=e^x;g(x)=x(x+1)^2$.

Dễ dàng chứng minh $f(x)$ và $g(x)$ là đồng biến với $x\in (\frac{1}{2};1)$ (1)

Mặt khác:

$\left\{\begin{matrix} g(\frac{1}{2})=\frac{9}{8}<\sqrt{e}=f(\frac{1}{2})\\ g(1)=4>e=f(1) \end{matrix}\right.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra (*) có nghiệm duy nhất với $x\in (\frac{1}{2};1)$. Suy ra đpcm



#3
quangnghia

quangnghia

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 397 Bài viết

Chứng minh phương trình sau có nghiệm duy nhất $\alpha \epsilon (\frac{1}{2};1)$
$\frac{e^x}{(x+1)^2}=x$

Phương trình tương đương $e^{x}=x(x+1)^{2}$

Xét $f(x)=e^{x}-x^{3}-2x^{2}-x$

$f'(x)=e^{x}-3x^{2}-4x$

Ta có $e^{x}\leq e$ (với $x\leq 1$)

$3x^{2}+4x\geq 3.(\frac{1}{2})^{2}+4.\frac{1}{2}\geq \frac{11}{4}$

$\Rightarrow f'(x)\leq e-\frac{11}{4}< 0$

Vậy f nghịch biến   (1)

Suy ra phuong trình $f(x)=0$ có tối đa 1 nghiệm

mặc khác ta thấy $f(x)$ liên tuc trên $(\frac{1}{2},1)$

$f(\frac{1}{2})> 0, f(1)< 0$

$\Rightarrow f(\frac{1}{2}).f(1)< 0$

$\Rightarrow$ tồn tại c nằm trong $(\frac{1}{2},1)$ sao cho $f(c)=0$  (2)

Từ (1), (2) ta thu được điều phải chứng minh


Thầy giáo tương lai





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: pt, kim văn hùng

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh