Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

​$\frac{e^x}{(x+1)^2}=x$

pt kim văn hùng

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 19kvh97

19kvh97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 423 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12a1 THPT Mỹ Đức B Hà Nội
  • Sở thích:nghe nhạc,và lục lọi các bài toán

Đã gửi 19-08-2015 - 10:49

Chứng minh phương trình sau có nghiệm duy nhất $\alpha \epsilon (\frac{1}{2};1)$
$\frac{e^x}{(x+1)^2}=x$



#2 ttlinhtinh

ttlinhtinh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 113 Bài viết

Đã gửi 19-08-2015 - 11:25

Với $x\in (\frac{1}{2};1)$ phương trình đã cho tương đương với:

$e^x=x(x+1)^2$ (*)

Đặt $f(x)=e^x;g(x)=x(x+1)^2$.

Dễ dàng chứng minh $f(x)$ và $g(x)$ là đồng biến với $x\in (\frac{1}{2};1)$ (1)

Mặt khác:

$\left\{\begin{matrix} g(\frac{1}{2})=\frac{9}{8}<\sqrt{e}=f(\frac{1}{2})\\ g(1)=4>e=f(1) \end{matrix}\right.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra (*) có nghiệm duy nhất với $x\in (\frac{1}{2};1)$. Suy ra đpcm



#3 quangnghia

quangnghia

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 397 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH KHTN HCM

Đã gửi 19-08-2015 - 11:38

Chứng minh phương trình sau có nghiệm duy nhất $\alpha \epsilon (\frac{1}{2};1)$
$\frac{e^x}{(x+1)^2}=x$

Phương trình tương đương $e^{x}=x(x+1)^{2}$

Xét $f(x)=e^{x}-x^{3}-2x^{2}-x$

$f'(x)=e^{x}-3x^{2}-4x$

Ta có $e^{x}\leq e$ (với $x\leq 1$)

$3x^{2}+4x\geq 3.(\frac{1}{2})^{2}+4.\frac{1}{2}\geq \frac{11}{4}$

$\Rightarrow f'(x)\leq e-\frac{11}{4}< 0$

Vậy f nghịch biến   (1)

Suy ra phuong trình $f(x)=0$ có tối đa 1 nghiệm

mặc khác ta thấy $f(x)$ liên tuc trên $(\frac{1}{2},1)$

$f(\frac{1}{2})> 0, f(1)< 0$

$\Rightarrow f(\frac{1}{2}).f(1)< 0$

$\Rightarrow$ tồn tại c nằm trong $(\frac{1}{2},1)$ sao cho $f(c)=0$  (2)

Từ (1), (2) ta thu được điều phải chứng minh


Thầy giáo tương lai





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: pt, kim văn hùng

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh