Chứng minh phương trình sau có nghiệm duy nhất $\alpha \epsilon (\frac{1}{2};1)$
$\frac{e^x}{(x+1)^2}=x$
#1
Đã gửi 19-08-2015 - 10:49
#2
Đã gửi 19-08-2015 - 11:25
Với $x\in (\frac{1}{2};1)$ phương trình đã cho tương đương với:
$e^x=x(x+1)^2$ (*)
Đặt $f(x)=e^x;g(x)=x(x+1)^2$.
Dễ dàng chứng minh $f(x)$ và $g(x)$ là đồng biến với $x\in (\frac{1}{2};1)$ (1)
Mặt khác:
$\left\{\begin{matrix} g(\frac{1}{2})=\frac{9}{8}<\sqrt{e}=f(\frac{1}{2})\\ g(1)=4>e=f(1) \end{matrix}\right.$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra (*) có nghiệm duy nhất với $x\in (\frac{1}{2};1)$. Suy ra đpcm
#3
Đã gửi 19-08-2015 - 11:38
Chứng minh phương trình sau có nghiệm duy nhất $\alpha \epsilon (\frac{1}{2};1)$
$\frac{e^x}{(x+1)^2}=x$
Phương trình tương đương $e^{x}=x(x+1)^{2}$
Xét $f(x)=e^{x}-x^{3}-2x^{2}-x$
$f'(x)=e^{x}-3x^{2}-4x$
Ta có $e^{x}\leq e$ (với $x\leq 1$)
$3x^{2}+4x\geq 3.(\frac{1}{2})^{2}+4.\frac{1}{2}\geq \frac{11}{4}$
$\Rightarrow f'(x)\leq e-\frac{11}{4}< 0$
Vậy f nghịch biến (1)
Suy ra phuong trình $f(x)=0$ có tối đa 1 nghiệm
mặc khác ta thấy $f(x)$ liên tuc trên $(\frac{1}{2},1)$
$f(\frac{1}{2})> 0, f(1)< 0$
$\Rightarrow f(\frac{1}{2}).f(1)< 0$
$\Rightarrow$ tồn tại c nằm trong $(\frac{1}{2},1)$ sao cho $f(c)=0$ (2)
Từ (1), (2) ta thu được điều phải chứng minh
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: pt, kim văn hùng
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình →
$\log_{3}{\frac{x^2+x+1}{x}}=2-2x-x^2$Bắt đầu bởi NAT, 19-11-2022 pt, phuongtrinh |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình →
Bài tập về giải phương trình (bằng phương pháp đặt ẩn phụ, ...)Bắt đầu bởi thptpbc, 30-07-2019 pt, phương trình, đặt ẩn phụ |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình →
$ \sqrt{\sqrt{3} -x} = x\sqrt{\sqrt{3}+x} $Bắt đầu bởi Sin99, 01-07-2019 pt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Tìm $m$Bắt đầu bởi ViTuyet2001, 25-11-2018 pt, giải hệ pt |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình →
Giải PT bằng PP đặt 1 ẩn phụBắt đầu bởi nguyenmark, 05-11-2018 pt, phương trình |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh