Chủ đề này có 1 trả lời

[hoctrocuaHolmes]

Chứng minh rằng $(x^{2}+y^{2})^{n}\geq 2^{n}x^{n}y^{n}+(x^{n}-y^{n})^{2}$ với $x,y$ là số thực dương vaf $n$ là số nguyên dương

[ZzNightWalkerZz]

Áp dụng BĐT Cosi ta có : $x^{2a}y^{2b}+x^{2b}y^{2a}\geq (xy)^{a+b}$

$=> (a+b)^n=a^n+C_n^1a^{n-1}b+...+C_n^1ab^{n-1}+b^n\geq a^n+b^n+(C_n^1+C_n^2+...+C_n^{n-1}).(ab)^{\frac{n}{2}}$ (Chỗ này ko biết nên viết thế nào cho dễ hiểu, thông cảm :v)

$=a^n+b^n+(2^n-2)(ab)^{\frac{n}{2}}$

Thay $a=x^2, b=y^2=>(x^{2}+y^{2})^{n}\geq x^{2n}+y^{2n}+(2^n-2)(xy)^n=2^nx^ny^n+(x^n-y^n)^2$