Nhờ anh em trong diễn đàn giúp mình bài này: Ký hiệu C[0;1] là vành các hàm số thực liên tục trên đoạn [0;1]. Chứng minh rằng với mọi số thực a thuộc đoạn [0;1] thì tập Ma = {f(x) thuộc C[0;1]: f(a) = 0} là idean cực đại của C[0;1]. Cảm ơn mọi người.
Chứng minh idean cực đại trong C[0;1]
#1
Đã gửi 21-08-2015 - 20:33
#2
Đã gửi 22-08-2015 - 19:13
Để thấy $M_a$ là ideal cực đại, ta cần chỉ ra phần tử đơn vị của $C[0;1]$ (hàm số $id: x \mapsto x$), có thể được biểu diễn bởi $id= hg + kf$ với mọi $g \notin M_a$ cho trước, $f \in M_a$ nào đó, và $h, k \in C[0;1]$ bất kì.
Gọi $g \notin M_a$ cho trước, như vậy $g(a) \ne 0.$ Do đó, ta có thể viết với mọi $x \in [0;1]$
$$id(x) = (x - \frac{x}{g(a)}g(x)) + \frac{x}{g(a)}g(x)$$
Dễ thấy $(x - \frac{x}{g(a)}g(a)) \in M_a$. Nên ta có đpcm
#3
Đã gửi 22-08-2015 - 21:38
Để thấy $M_a$ là ideal cực đại, ta cần chỉ ra phần tử đơn vị của $C[0;1]$ (hàm số $id: x \mapsto x$), có thể được biểu diễn bởi $id= hg + kf$ với mọi $g \notin M_a$ cho trước, $f \in M_a$ nào đó, và $h, k \in C[0;1]$ bất kì.
Gọi $g \notin M_a$ cho trước, như vậy $g(a) \ne 0.$ Do đó, ta có thể viết với mọi $x \in [0;1]$
$$id(x) = (x - \frac{x}{g(a)}g(x)) + \frac{x}{g(a)}g(x)$$
Dễ thấy $(x - \frac{x}{g(a)}g(a)) \in M_a$. Nên ta có đpcm
Mình nghĩ phần tử đơn vị của $C[0;1]$ phải là hàm 1, tức là $1: x \mapsto 1$, dựa vào ý tưởng này có thể suy nghĩ theo cách: Gọi B là idean của $C[0;1]$ thực sự chứa Ma. Ta chứng minh B = $C[0;1]$ bằng cách chỉ ra 1 thuộc B. Thật vậy, vì B thực sự chứa M nên tồn tại g(x) thuộc B\M, suy ra $g(a) \ne 0.$. Khi đó:
$$1 = (1 - \frac{1}{g(a)}g(x)) + \frac{1}{g(a)}g(x)$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tieu Vuong Gia: 22-08-2015 - 21:40
#4
Đã gửi 23-08-2015 - 00:25
Mình nghĩ phần tử đơn vị của $C[0;1]$ phải là hàm 1, tức là $1: x \mapsto 1$, dựa vào ý tưởng này có thể suy nghĩ theo cách: Gọi B là idean của $C[0;1]$ thực sự chứa Ma. Ta chứng minh B = $C[0;1]$ bằng cách chỉ ra 1 thuộc B. Thật vậy, vì B thực sự chứa M nên tồn tại g(x) thuộc B\M, suy ra $g(a) \ne 0.$. Khi đó:
$$1 = (1 - \frac{1}{g(a)}g(x)) + \frac{1}{g(a)}g(x)$$
Gọi $\varphi_1: x \mapsto 1$ và $\varphi_2: x \mapsto 2$. Nếu $\varphi_1$ là đơn vị của $C[0;1]$, thì $\varphi_1 \circ \varphi_2 = \varphi_2 \circ \varphi_1$ vì chúng cùng bằng $\varphi_2$. Nhưng $\varphi_1(\varphi_2(x))= 1$ và $\varphi_2(\varphi_1(x))=2.$
Đơn vị của $C[0;1]$ là hàm $id: x \mapsto x$ vì với mọi $f \in C[0;1]$, $id(f(x))=f(x)=f(id(x))$.
#5
Đã gửi 23-08-2015 - 05:41
Gọi $\varphi_1: x \mapsto 1$ và $\varphi_2: x \mapsto 2$. Nếu $\varphi_1$ là đơn vị của $C[0;1]$, thì $\varphi_1 \circ \varphi_2 = \varphi_2 \circ \varphi_1$ vì chúng cùng bằng $\varphi_2$. Nhưng $\varphi_1(\varphi_2(x))= 1$ và $\varphi_2(\varphi_1(x))=2.$
Đơn vị của $C[0;1]$ là hàm $id: x \mapsto x$ vì với mọi $f \in C[0;1]$, $id(f(x))=f(x)=f(id(x))$.
Hình như đây là vành với phép cộng và nhân 2 hàm số chứ đâu phải là phép hợp thành 2 ánh xạ đâu bạn. Mình nghĩ là (f.g)(x) = f(x)g(x).
#6
Đã gửi 23-08-2015 - 07:13
Hình như đây là vành với phép cộng và nhân 2 hàm số chứ đâu phải là phép hợp thành 2 ánh xạ đâu bạn. Mình nghĩ là (f.g)(x) = f(x)g(x).
ha, bạn hoàn toàn chính xác.
#7
Đã gửi 20-07-2016 - 23:23
nay gặp đúng bài này hê
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nghia04ch23: 20-07-2016 - 23:40
#8
Đã gửi 28-07-2016 - 22:53
nó là nhân của toàn cấu $C[0,1] \to \mathbb{R}: f \mapsto f(a)$ nên cực đại
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 28-07-2016 - 22:54
#9
Đã gửi 30-07-2016 - 21:38
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh