Cho bánh xe (A;AB) có đĩa líp (A;AE) lăn một vòng trên một đường thẳng, khi này, BC là chu vi bánh xe, nhưng đĩa líp cũng quay một vòng, vậy EF là chu vi đĩa líp. Chẳng lẽ chu vi bánh xe bằng chu vi đĩa líp vì cùng bằng EF và BC?
(hình ảnh chỉ mang tính minh hoạ, C là vị trí mới của B sau khi bánh xe lăn 1 vòng)
http://i.imgur.com/seLc1gi.png
Lập luận của bạn sai ở chỗ bạn cho rằng đĩa líp "lăn không trượt" trên đường thẳng EF, do đó mới suy ra chu vi đĩa líp bằng EF.Thực ra không phải như vậy !
Gọi bán kính của đĩa líp và bánh xe lần lượt là $r$ và $R$ ; hình chiếu của $A$ trên đường thẳng BC là điểm cố định $O$ (lúc đầu điểm B trùng với điểm cố định $O$)
Chọn đường thẳng OC làm trục tọa độ $Ox$ (gốc tại O, chiều dương từ O đến C)
Lúc đầu $B$ trùng với $O$.Sau khi $B$ và $E$ quay một góc $t$, $B$ đến vị trí $B_1$, còn $E$ đến $E_1$, $A$ đến $A_1$.Gọi hình chiếu của $A_1,B_1$ và $E_1$ trên OC là $P,Q$ và $S$.Ta có :
$x_{B_1}=\overline{OQ}=\overline{OP}-\overline{QP}=Rt-Rsint$
$x_{E_1}=x_{B_1}+\overline{QS}=x_{B_1}+B_1E_1sint=Rt-Rsint+(R-r)sint=Rt-rsint$ (1)
Giả sử trong quá trình B và E quay góc $t$ thì đĩa líp chỉ lăn mà không trượt.Ta có :
$x_{E_1}=\overline{OS}=\overline{OP}-\overline{SP}=rt-rsint$ (2)
(1) và (2) mâu thuẫn.Điều đó chứng tỏ điều giả sử trên (đĩa líp lăn không trượt) là sai, mà trong quá trình bánh xe và đĩa líp quay góc $t$ thì đĩa líp đã trượt một đoạn là $Rt-rt=(R-r)t$
Nếu góc quay là $2\pi$ (1 vòng) thì bánh xe lăn (không trượt) được đoạn $BC=2\pi R-R\sin2\pi=2\pi R$
Khi đó đĩa líp lăn được đoạn $2\pi r-r\sin2\pi=2\pi r$ và trượt được đoạn $(R-r).2\pi=2\pi R-2\pi r$.Do đó tổng quãng đường đĩa líp đi được khi bánh xe lăn 1 vòng là $EF=2\pi R$.Rõ ràng là quãng đường $EF$ lớn hơn chu vi đĩa líp.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 19-12-2015 - 22:58