Chủ đề này có 4 trả lời

[Love Math forever]

Cho $x,y,z> 0$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$ . Tìm GTNN của biểu thức:   

$P=8(x+y+z)+5(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

[25 minutes]

Cho $x,y,z> 0$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$ . Tìm GTNN của biểu thức:   

$P=8(x+y+z)+5(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Sử dụng AM-GM ta có $(xy+yz+zx)^2 \geqslant 3xyz(x+y+z)\Rightarrow xyz\leqslant \frac{(xy+yz+zx)^2}{3(x+y+z)}$

$\Rightarrow P=8(x+y+z)+\frac{5(xy+yz+zx)}{xyz}\geqslant 8(x+y+z)+\frac{5(xy+yz+zx)}{\frac{(xy+yz+zx)^2}{3(x+y+z)}}=8(x+y+z)+\frac{15(x+y+z)}{xy+yz+zx}$

Đặt $t=x+y+z\leqslant 3\Rightarrow xy+yz+zx=\frac{t^2-3}{2}$

$\Rightarrow P\geqslant 8t+\frac{30}{t^2-3}=f(t)$

Khảo sát hàm số với $0<t \leqslant 3$

[Love Math forever]

Sử dụng AM-GM ta có $(xy+yz+zx)^2 \geqslant 3xyz(x+y+z)\Rightarrow xyz\leqslant \frac{(xy+yz+zx)^2}{3(x+y+z)}$

$\Rightarrow P=8(x+y+z)+\frac{5(xy+yz+zx)}{xyz}\geqslant 8(x+y+z)+\frac{5(xy+yz+zx)}{\frac{(xy+yz+zx)^2}{3(x+y+z)}}=8(x+y+z)+\frac{15(x+y+z)}{xy+yz+zx}$

Đặt $t=x+y+z\leqslant 3\Rightarrow xy+yz+zx=\frac{t^2-3}{2}$

$\Rightarrow P\geqslant 8t+\frac{30}{t^2-3}=f(t)$

Khảo sát hàm số với $0<t \leqslant 3$

Còn cahs khác không sử dụng đạo hàm không? Chẳng hạn chọn điểm rơi.

[hoctrocuaHolmes]

Sử dụng BĐT AM-GM: 

$x^2y^2z^2\leq (\frac{x^2+y^2+z^2}{3})^3=1\Rightarrow xyz\leq 1$

Suy ra:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=3$ (1)

Lại có:

$(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+(x+y+z)=(\frac{1}{x}+x)+(\frac{1}{y}+y)+(\frac{1}{z}+z)\geq 6$ (2)

Cuối cùng ta suy ra:

$3(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+5(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+x+y+z)\geq 3.3+5*6=39$

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 

Bạn thử thay điều kiện dấu''='' xảy ra của bạn thì hiển nhiên biểu thức $P$ không bằng $39$ 

[ttlinhtinh]

Bạn thử thay điều kiện dấu''='' xảy ra của bạn thì hiển nhiên biểu thức $P$ không bằng $39$ 

Mình nhầm: $x=y=z=1$