Cho hàm số $f(x)$ có $f''(x)<0$ và $a<b$. Chứng minh rằng
$\int_{a}^{b}f(x)dx\leq (a-b)f(\frac{a+b}{2})$
Cho hàm số $f(x)$ có $f''(x)<0$ và $a<b$. Chứng minh rằng
$\int_{a}^{b}f(x)dx\leq (a-b)f(\frac{a+b}{2})$
Ta có
\[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - \frac{{b - a}}{2}}^{\frac{{b - a}}{2}} {f\left( {\frac{{a + b}}{2} + t} \right)dt} = \int\limits_0^{\frac{{b - a}}{2}} {\left[ {f\left( {\frac{{a + b}}{2} + t} \right) + f\left( {\frac{{a + b}}{2} - t} \right)} \right]dt} \leqslant 2\int\limits_0^{\frac{{b - a}}{2}} {f\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)dt} = \left( {b - a} \right)f\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)\]
Cần lắm một bờ vai nương tựa
Ta có
\[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - \frac{{b - a}}{2}}^{\frac{{b - a}}{2}} {f\left( {\frac{{a + b}}{2} + t} \right)dt} = \int\limits_0^{\frac{{b - a}}{2}} {\left[ {f\left( {\frac{{a + b}}{2} + t} \right) + f\left( {\frac{{a + b}}{2} - t} \right)} \right]dt} \leqslant 2\int\limits_0^{\frac{{b - a}}{2}} {f\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)dt} = \left( {b - a} \right)f\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)\]
đoạn dùng bđt là dùng định lý hay bất đẳng thức nào vậy??
Ta có
\[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - \frac{{b - a}}{2}}^{\frac{{b - a}}{2}} {f\left( {\frac{{a + b}}{2} + t} \right)dt} = \int\limits_0^{\frac{{b - a}}{2}} {\left[ {f\left( {\frac{{a + b}}{2} + t} \right) + f\left( {\frac{{a + b}}{2} - t} \right)} \right]dt} \leqslant 2\int\limits_0^{\frac{{b - a}}{2}} {f\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)dt} = \left( {b - a} \right)f\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)\]
Bạn có thể giải thích về dấu bằng thứ hai được không. Cảm ơn bạn.
Bạn có thể giải thích về dấu bằng thứ hai được không. Cảm ơn bạn.
$\int\limits_{-\frac{{b-a}}{2}}^{\frac{{b-a}}{2}} {f\left({\frac{{a+b}}{2}+t}\right)dt} = \int\limits_{-\frac{{b-a}}{2}}^{0} {f\left({\frac{{a+b}}{2}+t}\right)dt}+\int\limits_{0}^{\frac{{b-a}}{2}} {f\left({\frac{{a+b}}{2}+t}\right)dt}$
Xét $\int\limits_{-\frac{{b-a}}{2}}^{0} {f\left({\frac{{a+b}}{2}+t}\right)dt}$. Đặt $u = -t \rightarrow du = -dt$. Khi đó:
$\int\limits_{-\frac{{b-a}}{2}}^{0} {f\left({\frac{{a+b}}{2}+t}\right)dt}=\int\limits_{\frac{{b-a}}{2}}^{0} {f\left({\frac{{a+b}}{2}-u}\right)d(-u)}=-\int\limits_{\frac{{b-a}}{2}}^{0} {f\left({\frac{{a+b}}{2}-u}\right)d(u)}=\int\limits_{0}^{\frac{{b-a}}{2}} {f\left({\frac{{a+b}}{2}-u}\right)d(u)}=\int\limits_{0}^{\frac{{b-a}}{2}} {f\left({\frac{{a+b}}{2}-t}\right)d(t)}$
Do đó: $\int\limits_{ - \frac{{b - a}}{2}}^{\frac{{b - a}}{2}} {f\left( {\frac{{a + b}}{2} + t} \right)dt} = \int\limits_0^{\frac{{b - a}}{2}} {\left[ {f\left( {\frac{{a + b}}{2} + t} \right) + f\left( {\frac{{a + b}}{2} - t} \right)} \right]dt}$
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Tích phân - Nguyên hàm →
Tính tích phân $\int\limits_{1}^{2}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{3}}\text{d}x}$Bắt đầu bởi NAT, 28-03-2018 tichphan, tp |
|
|||
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
CMR tồn tại số tự nhiên $k$ thỏa mãn $A^k$ là ma trận đơn vịBắt đầu bởi 19kvh97, 19-11-2015 kim văn hùng, ma trận |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình →
$x^3+7=\sqrt{x^2+5}$Bắt đầu bởi 19kvh97, 03-09-2015 pt, kim văn hùng |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
$b\int_{0}^{a}f(x)dx\geq a\int_{0}^{b}f(x)dx$Bắt đầu bởi 19kvh97, 27-08-2015 tp, kim văn hùng |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
$f(x_0)=x_0$Bắt đầu bởi 19kvh97, 27-08-2015 hs, kim văn hùng |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh