Chủ đề này có 5 trả lời

[19kvh97]

Cho hàm số $f(x)$ có $f''(x)<0$ và $a<b$. Chứng minh rằng

$\int_{a}^{b}f(x)dx\leq (a-b)f(\frac{a+b}{2})$

[nthkhnimqt]

Ta có

\[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - \frac{{b - a}}{2}}^{\frac{{b - a}}{2}} {f\left( {\frac{{a + b}}{2} + t} \right)dt}  = \int\limits_0^{\frac{{b - a}}{2}} {\left[ {f\left( {\frac{{a + b}}{2} + t} \right) + f\left( {\frac{{a + b}}{2} - t} \right)} \right]dt}  \leqslant 2\int\limits_0^{\frac{{b - a}}{2}} {f\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)dt}  = \left( {b - a} \right)f\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)\]

[19kvh97]

Ta có

\[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - \frac{{b - a}}{2}}^{\frac{{b - a}}{2}} {f\left( {\frac{{a + b}}{2} + t} \right)dt}  = \int\limits_0^{\frac{{b - a}}{2}} {\left[ {f\left( {\frac{{a + b}}{2} + t} \right) + f\left( {\frac{{a + b}}{2} - t} \right)} \right]dt}  \leqslant 2\int\limits_0^{\frac{{b - a}}{2}} {f\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)dt}  = \left( {b - a} \right)f\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)\]

đoạn dùng bđt là dùng định lý hay bất đẳng thức nào vậy??

[nthkhnimqt]

Dùng bđt Jensen bạn, nếu $f$ lõm tức là đạo hàm cấp 2 âm thì 

\[{f\left( x \right) + f\left( y \right) \leqslant 2f\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthkhnimqt: 23-08-2015 - 18:12

[ToanCo]

Ta có

\[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - \frac{{b - a}}{2}}^{\frac{{b - a}}{2}} {f\left( {\frac{{a + b}}{2} + t} \right)dt}  = \int\limits_0^{\frac{{b - a}}{2}} {\left[ {f\left( {\frac{{a + b}}{2} + t} \right) + f\left( {\frac{{a + b}}{2} - t} \right)} \right]dt}  \leqslant 2\int\limits_0^{\frac{{b - a}}{2}} {f\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)dt}  = \left( {b - a} \right)f\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)\]

 

Bạn có thể giải thích về dấu bằng thứ hai được không. Cảm ơn bạn.

[ttlinhtinh]

Bạn có thể giải thích về dấu bằng thứ hai được không. Cảm ơn bạn.

$\int\limits_{-\frac{{b-a}}{2}}^{\frac{{b-a}}{2}} {f\left({\frac{{a+b}}{2}+t}\right)dt} = \int\limits_{-\frac{{b-a}}{2}}^{0} {f\left({\frac{{a+b}}{2}+t}\right)dt}+\int\limits_{0}^{\frac{{b-a}}{2}} {f\left({\frac{{a+b}}{2}+t}\right)dt}$

Xét $\int\limits_{-\frac{{b-a}}{2}}^{0} {f\left({\frac{{a+b}}{2}+t}\right)dt}$. Đặt $u = -t \rightarrow du = -dt$. Khi đó:

$\int\limits_{-\frac{{b-a}}{2}}^{0} {f\left({\frac{{a+b}}{2}+t}\right)dt}=\int\limits_{\frac{{b-a}}{2}}^{0} {f\left({\frac{{a+b}}{2}-u}\right)d(-u)}=-\int\limits_{\frac{{b-a}}{2}}^{0} {f\left({\frac{{a+b}}{2}-u}\right)d(u)}=\int\limits_{0}^{\frac{{b-a}}{2}} {f\left({\frac{{a+b}}{2}-u}\right)d(u)}=\int\limits_{0}^{\frac{{b-a}}{2}} {f\left({\frac{{a+b}}{2}-t}\right)d(t)}$

Do đó: $\int\limits_{ - \frac{{b - a}}{2}}^{\frac{{b - a}}{2}} {f\left( {\frac{{a + b}}{2} + t} \right)dt} = \int\limits_0^{\frac{{b - a}}{2}} {\left[ {f\left( {\frac{{a + b}}{2} + t} \right) + f\left( {\frac{{a + b}}{2} - t} \right)} \right]dt}$