Mình cũng ráng đánh bài giải của mình để các bạn có thể trao đổi cho hoàn thiện hơn .
NX : Bài này có nhiều khía cạnh về các biến nên sẽ có nhiều cách chia TH . Mình thì chia các biến $a,b,c$ . Vì $a,b,c$ bình đẳng với nhau nên ta sẽ xét các TH là :
1. $a=b$ và tương tự với các TH còn lại
2. $a<b<c$ .
Bài giải :
Vì $a,b,c$ là các ẩn nguyên dương bất kì do đó ý tưởng đơn giản là giam hãm một biến trong một khoảng rồi xét TH ( trong TH khoảng đó hơi lớn thì thôi dùng cách khác )
Giả sử : $\left\{\begin{matrix} ab-c=2^{m} & & \\ bc-a=2^{n} & & \\ ca-b=2^{p} & & \end{matrix}\right.$ ($m,n,p\geq 0$)
Nhưng đầu tiên để giảm thiểu các " phiền toái " liên quan đến dấu " = " thì ta xét TH $a=b$
TH1 : $a=b$ : Ta có : $\left\{\begin{matrix} a^{2}-c=2^{m} & & \\ ac-a=2^{n} & & \\ ca-a=2^{p} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow n=p$
Tuy nhiên do $m,n\geq 0$ nên ta xét :
1) Nếu $m=0$ và $n\geq 1$ thì : $a^{2}-c=1\Rightarrow$ hoặc $a$ chẵn , $c$ lẻ hoặc $a$ lẻ , $b$ chẵn .
a) Nếu $a$ chẵn , $b$ lẻ thì : $a(c-1)=2^{n}$ nên : $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=2^{s} & \\ c-1=2^{t} & \end{matrix}\right.(s+t=n)$ . Thay $a$ và $c$ vào $a^{2}-c=1$ ta được :
$2^{2s}-2^{t}=2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} s=1 & \\ t=1 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=2 & \\ c=2+1=3 & \end{matrix}\right.$
Do đó ta có nghiệm : $(2;2;3)$
b) Nếu $a$ lẻ , $b$ chẵn thì : $\Rightarrow a=1\Rightarrow c=0$ (vô lý )
2) Nếu $n=0$ thì $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c=2 & \\ a=1 & \end{matrix}\right.\Rightarrow 1=a^{2}-c=1-2=-1$ (vô lý)
3) Nếu $m,n\geq 1$ thì : $\left\{\begin{matrix} a^{2}-c=2^{m} & \\ a(c-1)=2^{n} & \end{matrix}\right.$
Từ đó : $a,c$ cùng tính chẵn , lẻ
a) Nếu $a,c$ cùng lẻ thì : $c-1=2^{n}\Rightarrow a=1\Rightarrow c=1-2^{m}$ (vô lý )
b) Nếu $a,c$ cùng chẵn thì : $\Rightarrow a=2^{n}\Rightarrow c=2\rightarrow 2^{2n}-2=2^{m}\rightarrow 2^{2n}-2^{m}=2\rightarrow m=n=1\rightarrow a=b=c=2$
Do đó ta có thêm nghiệm là : $(2;2;2)$
Cuối cùng : ta có nghiệm là : $(2;2;2)$ ; $(2;2;3)$ và các hoán vị .
TH2 : $a<b<c$ thì :
Ta có :$(c+1)(b-a)=2^{n}-2^{p}=2^{p}(2^{n-p}-1)\Rightarrow 2^{p}|(c+1)(b-a)$
Tương tự ta cũng có : $2^{p}|(c-1)(b+a)$
Từ 2 điều này ta dễ dàng suy được :
$2^{p-1}|a+b\Rightarrow a+b\geq 2^{p-1}\Rightarrow 2a+2b=ca-b\Rightarrow ca=2a+3b\Rightarrow 2a+3b=ca\geq a(b+1)\Rightarrow ab\leq a+3b<4b\Rightarrow a\leq 3$
1) Nếu $a=1$ thì : $\rightarrow \left\{\begin{matrix} b-c=2^{m} & \\ c-b=2^{p} & \end{matrix}\right.\rightarrow 2^{m}=0$ (vô lý )
2) Nếu $a=2$ thì : $\left\{\begin{matrix} 2b-c=2^{m} ; 2c-b=2^{p} & \\ bc-2=2^{n} & \end{matrix}\right.$
a) Nếu $m=0$ thì : $\rightarrow c=2b-1$ do đó : $3b-2 ; 2b^{2}-b-2$ là lũy thừa của $2$ . Mà để ý rằng :
$2b^{2}-b-2\geq 3b-2\Rightarrow 3b-2|2b^{2}-b-2\Rightarrow 3b-2|6b(3b-2)+(3b-2)-16\Rightarrow 3b-2|16\Rightarrow b\leq 6$
Sau đó thử từng TH ta được : $(a;b;c)=(2;6;11)$
b) Nếu $n=0$ thì $bc=3$ $\rightarrow b=1 ; c=3 v b=3 ; c=1\Rightarrow$ vô lý .
c) Nếu $m,n\geq 1$ thì : $\left\{\begin{matrix} 2b-c=2^{m} & & \\ 2c-b=2^{p} & & \\ bc-2=2^{n} & & \end{matrix}\right.\rightarrow (c-2)(b+1)=2^{n}-2^{m}=2^{m}(2^{n-m}-1)$
Từ đó : $\rightarrow c-2=2^{m}.c_{1}$ ( do $b+1$ lẻ )
Tương tự : $(b-2)(c+1)=2^{p}(2^{n-p}-1)\rightarrow b=2^{p}.b_{1}+2$
Mà $b+c=2^{m}+2^{p}$ , thay $b,c$ vào ta được :
$2^{m}(c_{1}-1)+2^{p}(b_{1}-1)+4=0\rightarrow$ vô lý .
Vậy trong TH $a=2$ ta có nghiệm là : $(2;6;11)$
3) Nếu $a=3$ thì : $\left\{\begin{matrix} 3b-c=2^{m} & & \\ bc-3=2^{n} & & \\ 3c-b=2^{p} & & \end{matrix}\right.$
a) Nếu $m=0$ và $n,p\geq 1$ thì : $\rightarrow 3b-c=1\Rightarrow c=3b-1\rightarrow$ cả $8b-3$ và $3b^{2}-b-3$ đều phải là lũy thừa của 2 .
Mặt khác do $c>b>3$ nên : $3b^{2}-b-3\geq 8b-3$ nên : $8b-3|3b^{2}-b-3\Rightarrow 4\leq b\leq 16$
Thử 12 Th của $b$ thì ta thấy không có TH nào thỏa .
b) Nếu $n=0$ thì : $bc-3=1\rightarrow bc=4\rightarrow \left\{\begin{matrix} b=1 & \\ c=4 & \end{matrix}\right.V\left\{\begin{matrix} b=2 & \\ c=2 & \end{matrix}\right.$
Từ đó ta có nghiệm là : $(3;2;2)$
c) Nếu $m,n,p\geq 1$ thì :
Từ : $\left\{\begin{matrix} 3b-c=2^{m} & \\ 3c-b=2^{p} & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} b=\frac{3.2^{m}+2^{p}}{8} & \\ c=\frac{9.2^{m}+3.2^{p}}{8}-2^{m}=\frac{2^{m}+3.2^{p}}{8} & \end{matrix}\right.$
Thế $b,c$ ở trên vào pt : $bc-3=2^{n}$ ta được :
$2^{n}=(3.2^{m-3}+2^{p-3})(3.2^{p-3}+2^{m-3})-3$(***)
Tới đây ta nhận xét : $VT(***)$ chẳn nên : $(3.2^{m-3}+2^{p-3})(3.2^{p-3}+2^{m-3})$ phải lẻ .
- KN1 : $p=3$ thì : $2^{m-3}(3.2^{m-3}+10)=2^{n}\Rightarrow 3.2^{m-3}+10=16\Rightarrow m=4$
Nên ta có : $\left\{\begin{matrix} m=4 & \\ p=3 & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} b=7 & \\ c=5 & \end{matrix}\right.$
Điều này vô lý do : $c>b\rightarrow 5>7$
- KN2 : $m=3$ thì làm tương tự ta có thêm 1 nghiệm là : $(3;5;7)$
Vậy tóm lại ta có các nghiệm là : $(2;2;2) ; (2;2;3) ; (3;5;7) ; (2;6;11)$ và các hoán vị
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 24-08-2015 - 14:18