Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$ab-c$ ; $bc-a$ ; $ca-b$ đều là lũy thừa của 2


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 23-08-2015 - 09:49

Tìm mọi số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn : $ab-c$ ; $bc-a$ ; $ca-b$ đều là lũy thừa của 2 . 

 

NX : Mình lấy lại bài số học của IMO 2015 vừa qua để các trao đổi kĩ càng hơn về việc phân tích hướng giải , chỉ ra đâu là mấu chốt của bài  ,.... chứ không nên đùng đùng xét một loạt các TH mà không chú thích tại sao :)) . Mong các bạn không nên dẫn link trong bài viết này để tiện theo dõi .  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 23-08-2015 - 09:50

Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#2 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4266 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 23-08-2015 - 10:27

Topic của anh rất hay.  :namtay  Em xin đi tiên phong một tí. :D

 

 chứ không nên đùng đùng xét một loạt các TH mà không chú thích tại sao :)) .

Lời giải thì đâu cần phải chú thích tại sao phải xét trường hợp này, trường hợp nọ. :)

Lời giải của em trong topic này em có xét rất nhiều trường hợp, việc xét như vậy cũng có lí do của nó.

 

Đầu tiên, đề bài yêu cầu tìm sao cho $ab-c,bc-a,ca-b$ là luỹ thừa của $2$. Việc giả thiết bài toán cho "luỹ thừa của $2$" khiến em liên tưởng đến việc xét tính đồng dư của $a,b,c$ cho $2^x$ nào đó. Em có thấy rằng việc xét đồng dư cho $2^x$ với $x \ge 2$ là có vẻ sẽ mất rất nhiều trường hợp, nên trước hết em đi xét cụ thể hai trường hợp nhỏ là chẵn và lẻ. Đây là lí do vì sao 2 trường hợp lớn ở lời giải của em ra đời: $a,b,c$ khác tính chẵn lẻ và $a,b,c$ cùng tính chẵn lẻ. Tất nhiên trường hợp $a,b,c$ cùng tính chẵn lẻ sẽ phải xét hai trường hợp nhỏ nữa là $a,b,c$ cũng chẵn và $a,b,c$ cùng lẻ.

 

Từng trường hợp sẽ nảy sinh các vấn đề khác nhau, và đôi khi các vấn đề này phải khiến ta đi xét trường hợp nhỏ hơn nữa. Chẳng hạn, trường hợp $a,b,c$ khác tính chẵn lẻ. Em có suy ra một trong ba số $x,y,z$ phải bằng $0$. Kết hợp với đẳng thức mà em tìm được là $2^y+2^z= (a+b)(ab-2)$, em lại nghĩ ngay tới việc xét tiếp $v_2(a),v_2(b)$. Từ đó dẫn đến 4 khả năng nhỏ hơn. 

 

Dù biết là lời giải của em rất dài, đọc một số lời giải khác có những cách ngắn hơn nhưng em vẫn thấy vui khi vì có thể giải ra được một bài toán trong kì thi IMO 2015. :)

 

Xin trích lại lời giải để mọi người tiện theo dõi.

 


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#3 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 23-08-2015 - 15:34

 

 

Topic của anh rất hay.   :namtay  Em xin đi tiên phong một tí.  :D

Bài giải của bạn rất hay , tuy khá dài nhưng ý tưởng thì không tồi chút nào . Ý tưởng của bạn là xét các tính chất của $a,b,c$ qua đó bao hết tất cả các TH . Bài số này cũng có khá nhiều các chia TH mà một trong  số đó là cách của bạn Zaraki , ngoài ra ta còn có thể xét và chia TH theo $a,b,c$ hoặc $m,n,p$ (số mũ của cơ số 2) và đánh giá chặn khoảng theo biến , tuy nhiên thì lời giải cũng dài :( . Mong mọi người góp ý từng phần để ra lò một lời giải ngắn gọn và thẩm mĩ nhất có thể :))

 

Topic của anh rất hay.   :namtay  Em xin đi tiên phong một tí.  :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 23-08-2015 - 15:34

Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#4 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 23-08-2015 - 19:26

Mình cũng ráng đánh bài giải của mình để các bạn có thể trao đổi cho hoàn thiện hơn . 

Spoiler

NX : Bài này có nhiều khía cạnh về các biến nên sẽ có nhiều cách chia TH . Mình thì chia các biến $a,b,c$ . Vì $a,b,c$ bình đẳng với nhau nên ta sẽ xét các TH là : 

1. $a=b$ và tương tự với các TH còn lại 

2. $a<b<c$ . 

Bài giải : 

Vì $a,b,c$ là các ẩn nguyên dương bất kì do đó ý tưởng đơn giản là giam hãm một biến trong một khoảng rồi xét TH ( trong TH khoảng đó hơi lớn thì thôi :)) dùng cách khác ) 

Giả sử : $\left\{\begin{matrix} ab-c=2^{m} & & \\ bc-a=2^{n} & & \\ ca-b=2^{p} & & \end{matrix}\right.$ ($m,n,p\geq 0$)

Nhưng đầu tiên để giảm thiểu các " phiền toái " liên quan đến dấu " = " thì ta xét TH $a=b$

TH1 : $a=b$ : Ta có : $\left\{\begin{matrix} a^{2}-c=2^{m} & & \\ ac-a=2^{n} & & \\ ca-a=2^{p} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow n=p$

Tuy nhiên do $m,n\geq 0$ nên ta xét : 

1) Nếu $m=0$ và $n\geq 1$ thì : $a^{2}-c=1\Rightarrow$ hoặc $a$ chẵn , $c$ lẻ hoặc $a$ lẻ , $b$ chẵn . 

  a) Nếu $a$ chẵn , $b$ lẻ thì : $a(c-1)=2^{n}$ nên : $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=2^{s} & \\ c-1=2^{t} & \end{matrix}\right.(s+t=n)$ . Thay $a$ và $c$ vào $a^{2}-c=1$ ta được : 

$2^{2s}-2^{t}=2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} s=1 & \\ t=1 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=2 & \\ c=2+1=3 & \end{matrix}\right.$ 

Do đó ta có nghiệm : $(2;2;3)$

  b) Nếu $a$ lẻ , $b$ chẵn thì : $\Rightarrow a=1\Rightarrow c=0$ (vô lý )

2) Nếu $n=0$ thì $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c=2 & \\ a=1 & \end{matrix}\right.\Rightarrow 1=a^{2}-c=1-2=-1$ (vô lý)

3) Nếu $m,n\geq 1$ thì : $\left\{\begin{matrix} a^{2}-c=2^{m} & \\ a(c-1)=2^{n} & \end{matrix}\right.$

Từ đó : $a,c$ cùng tính chẵn , lẻ 

  a) Nếu $a,c$ cùng lẻ thì : $c-1=2^{n}\Rightarrow a=1\Rightarrow c=1-2^{m}$ (vô lý )

  b) Nếu $a,c$ cùng chẵn thì : $\Rightarrow a=2^{n}\Rightarrow c=2\rightarrow 2^{2n}-2=2^{m}\rightarrow 2^{2n}-2^{m}=2\rightarrow m=n=1\rightarrow a=b=c=2$

Do đó ta có thêm nghiệm là : $(2;2;2)$

Cuối cùng : ta có nghiệm là : $(2;2;2)$ ; $(2;2;3)$ và các hoán vị . 

TH2 : $a<b<c$ thì : 

Ta có :$(c+1)(b-a)=2^{n}-2^{p}=2^{p}(2^{n-p}-1)\Rightarrow 2^{p}|(c+1)(b-a)$

Tương tự ta cũng có : $2^{p}|(c-1)(b+a)$

Từ 2 điều này ta dễ dàng suy được : 

$2^{p-1}|a+b\Rightarrow a+b\geq 2^{p-1}\Rightarrow 2a+2b=ca-b\Rightarrow ca=2a+3b\Rightarrow 2a+3b=ca\geq a(b+1)\Rightarrow ab\leq a+3b<4b\Rightarrow a\leq 3$

1) Nếu $a=1$ thì : $\rightarrow \left\{\begin{matrix} b-c=2^{m} & \\ c-b=2^{p} & \end{matrix}\right.\rightarrow 2^{m}=0$ (vô lý )

2) Nếu $a=2$ thì : $\left\{\begin{matrix} 2b-c=2^{m} ; 2c-b=2^{p} & \\ bc-2=2^{n} & \end{matrix}\right.$

  a) Nếu $m=0$ thì : $\rightarrow c=2b-1$ do đó : $3b-2 ; 2b^{2}-b-2$ là lũy thừa của $2$ . Mà để ý rằng : 

$2b^{2}-b-2\geq 3b-2\Rightarrow 3b-2|2b^{2}-b-2\Rightarrow 3b-2|6b(3b-2)+(3b-2)-16\Rightarrow 3b-2|16\Rightarrow b\leq 6$

Sau đó thử từng TH ta được : $(a;b;c)=(2;6;11)$

  b) Nếu $n=0$ thì $bc=3$ $\rightarrow b=1 ; c=3 v b=3 ; c=1\Rightarrow$ vô lý . 

  c) Nếu $m,n\geq 1$ thì : $\left\{\begin{matrix} 2b-c=2^{m} & & \\ 2c-b=2^{p} & & \\ bc-2=2^{n} & & \end{matrix}\right.\rightarrow (c-2)(b+1)=2^{n}-2^{m}=2^{m}(2^{n-m}-1)$

Từ đó : $\rightarrow c-2=2^{m}.c_{1}$ ( do $b+1$ lẻ )

Tương tự : $(b-2)(c+1)=2^{p}(2^{n-p}-1)\rightarrow b=2^{p}.b_{1}+2$

Mà $b+c=2^{m}+2^{p}$ , thay $b,c$ vào ta được : 

$2^{m}(c_{1}-1)+2^{p}(b_{1}-1)+4=0\rightarrow$ vô lý . 

Vậy trong TH $a=2$ ta có nghiệm là : $(2;6;11)$

3) Nếu $a=3$ thì : $\left\{\begin{matrix} 3b-c=2^{m} & & \\ bc-3=2^{n} & & \\ 3c-b=2^{p} & & \end{matrix}\right.$

  a) Nếu $m=0$ và $n,p\geq 1$ thì : $\rightarrow 3b-c=1\Rightarrow c=3b-1\rightarrow$ cả $8b-3$ và $3b^{2}-b-3$ đều phải là lũy thừa của 2 . 

Mặt khác do $c>b>3$ nên : $3b^{2}-b-3\geq 8b-3$ nên : $8b-3|3b^{2}-b-3\Rightarrow 4\leq b\leq 16$

Thử 12 Th của $b$ thì ta thấy không có TH nào thỏa . 

  b) Nếu $n=0$ thì : $bc-3=1\rightarrow bc=4\rightarrow \left\{\begin{matrix} b=1 & \\ c=4 & \end{matrix}\right.V\left\{\begin{matrix} b=2 & \\ c=2 & \end{matrix}\right.$

Từ đó ta có nghiệm là : $(3;2;2)$

  c) Nếu $m,n,p\geq 1$ thì :

Spoiler

Từ : $\left\{\begin{matrix} 3b-c=2^{m} & \\ 3c-b=2^{p} & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} b=\frac{3.2^{m}+2^{p}}{8} & \\ c=\frac{9.2^{m}+3.2^{p}}{8}-2^{m}=\frac{2^{m}+3.2^{p}}{8} & \end{matrix}\right.$

Thế $b,c$ ở trên vào pt : $bc-3=2^{n}$ ta được : 

$2^{n}=(3.2^{m-3}+2^{p-3})(3.2^{p-3}+2^{m-3})-3$(***)

Tới đây ta nhận xét : $VT(***)$ chẳn nên : $(3.2^{m-3}+2^{p-3})(3.2^{p-3}+2^{m-3})$ phải lẻ . 

 - KN1 : $p=3$ thì : $2^{m-3}(3.2^{m-3}+10)=2^{n}\Rightarrow 3.2^{m-3}+10=16\Rightarrow m=4$

Nên ta có : $\left\{\begin{matrix} m=4 & \\ p=3 & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} b=7 & \\ c=5 & \end{matrix}\right.$

Điều này vô lý do : $c>b\rightarrow 5>7$

 - KN2 : $m=3$ thì làm tương tự ta có thêm 1 nghiệm là : $(3;5;7)$

 

Vậy tóm lại ta có các nghiệm là : $(2;2;2) ; (2;2;3) ; (3;5;7) ; (2;6;11)$ và các hoán vị


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 24-08-2015 - 14:18

Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#5 Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-08-2015 - 22:31

Tìm mọi số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn : $ab-c$ ; $bc-a$ ; $ca-b$ đều là lũy thừa của 2 . 

 

NX : Mình lấy lại bài số học của IMO 2015 vừa qua để các trao đổi kĩ càng hơn về việc phân tích hướng giải , chỉ ra đâu là mấu chốt của bài  ,.... chứ không nên đùng đùng xét một loạt các TH mà không chú thích tại sao :)) . Mong các bạn không nên dẫn link trong bài viết này để tiện theo dõi .  

Nhìn vào theo cảm nhận mang tính cá nhân của mình thì thứ làm cho nó có hữu hạn nghiệm có thể khai thác được là sự lệch bậc trong biểu thức, vì nó đối xứng nên ta ta có thể dựa vào $v_2$ của tích 2 số phải lớn hơn $v_2$ của một số, rõ ràng nếu xem 3 số là như nhau thì để tạo ra lũy thừa của một số nguyên tố, đây là một điểm ta cảm thấy bất cập, đó chính là thứ cần vin vào để lập luận. Để đảm bảo cho mục đích vừa nêu ta chọn $a$ là số có $v_2$ lớn nhất.

Khi đó ta chứng minh được nếu $v_2(a)>v_2(b)$ và $v_2(a)>v_2(c)$ là vô lí.

Thật vậy đặt $a=2^i.a_1,b=2^j.b_1,c=2^k.c_1$

Nếu $i>j,i>k$ thì từ $ab-c,ac-b$ đều là lũy thừa của $2$ ta suy ra $2^{i-k}.2^j.b_1-c_1=1$ và $2^{i-j}.2^k.c_1-b_1=1$

Suy ra $1 \ge 2.b_1-c_1$ và $1 \ge 2.c_1-b_1$. Cái này chỉ xảy ra khi $b_1=c_1=1,j=k=0,i=1$, nghiệm này không phù hợp.

Vậy trong 2 số $i,j,k$ có ít nhất 2 số bằng nhau. Ta giả sử là $i=j$ khi đó ta có:

$ca-b,cb-a$ là lũy thừa của 2.

_Nếu $c$ là số chẵn thì suy ra $ca_1-b_1=1,cb_1-a_1=1$, chú ý lúc này $v_2(c)>v_2(a_1),v_2(c)>v_2(b_1)$ nên theo trên ta suy ra nghiệm $c=2,a_1=b_1=1$

Thay vào để $ab-c$ là lũy thừa của $2$ thì suy ra $i=1$ nên $(2;2;2)$ là một nghiệm.

_Bây giờ xét $c$ là một số lẻ.

Ở đây sinh ra 2 vấn đề là nếu $a,b$ lẻ thì chưa nói được gì nhưng mà nếu $a,b$ chẵn thì ta có $ab-c=1$

+)Ta xét $a,b$ chẵn trước thì khi đó $c=2^{2i}a_1b_1-1$ (vì $i=j \ge 1$) và ta phải có $x=2^{2i}a_1^2b_1-a_1-b_1$ và $y=2^{2i}a_1b_1^2-a_1-b_1$ đều là các lũy thừa của 2. Nếu 2 số này bằng nhau thì $a_1=b_1$ thay vào có thể giải ra nghiệm $(2;2;3)$

Nếu 2 số này khác nhau thì $v_2(x) \ne v_2(y)$ nên $v_2(x+y)=v_2(x-y)$ suy ra $v_2(a_1+b_1)+1=v_2(a_1-b_1)+2i \Rightarrow v_2(a_1+b_1)=v_2(a_1-b_1)-1+2i \ge 2i$

Nếu $v_2(a_1+b_1)>2i$ thì ta có thể chứng minh được $x,y$ đều là lũy thừa của 2 là mâu thuẫn (cái này chắc không khó, nhưng mình nhác mò chứng minh :D)

Từ đó suy ra $v_2(a_1+b_1)=2i$ và $v_2(a_1-b_1)=1$

Đặt tiếp $a_1+b_1=2^i.r$ với $r$ lẻ và $z=a_1^2b_1-r,t=a_1b_1^2-r$ thì $z,t$ là lũy thừa của 2 mà $v_2(z-t)=v_2(a-b)=1$ suy ra một trong 2 số $z,t$ bằng 2.

Không mất tính tổng quát giả sử là $z=2$, nếu $a_1 \ge 2$ thì $a_1^2b_1-r \ge (a_1-1)a_1b_1+a_1b_1-r>2$ chú ý là $r \le \frac{1}{4}(a_1+b_1)$ nên $a_1b_1-r>0$.

Vậy $a_1=1$ suy ra $b_1=r+2$, ta có $2^{2i}r=a_1+b_1=r+3$ mà $i \ge 1$ nên suy ra luôn $r=1$. Từ đây suy ra được giá trị của $a,b,c$ ta được bộ nghiệm $(2,6,11)$

+) Bây giờ xét $a,b,c$ cùng lẻ

Thủ thuật cũng gần tương tự như trên một chút, nhưng trước tiên ta nhận xét là 3 số này không có 2 số nào bằng nhau và không có số nào bằng 1. Ngược lại nếu tồn tại thì dễ dàng chứng minh vô lí.

Với điều kiện trên không mất tính tổng quát $a>b>c$, khi đó ta có $ab-c>ac-b$, do đó $v_2(ac-b)=v_2[(ab-c)-(ac-b)]=v_2[(ab-c)+(ac-b)] $. Suy ra $v_2(ac-b)=v_2(a+1)+v_2(b-c)=v_2(a-1)+v_2(c+b)$, ta chú ý là trong 2 số $v_2(a-1)$ và $v_2(a+1)$ có một số bằng 1. Do đó hoặc là $v_2(b-c)=v_2(ac-b)-1$ hoặc là $v_2(b+c)=v_2(ac-b)-1$. Chung quy ta đều có $2(b+c) \ge ac-b$ vì $ac-b=2^{v_2(ac-b)}$, suy ra $3b \ge (a-2)c$, mà $a,b,c$ đều lẻ lớn hơn 1 và $a>b>c$ nên $a-2 \ge b, c \ge 3$. Đẳng thức trên phải xảy ra và xảy ra khi $a=b+2,c=3$

Ta có $ab-c=b(b+2)-3=(b-1)(b+3)$ là lũy thừa của 2 suy ra $b-1$ và $b+3$ đều là lũy thừa của 2 suy ra $b=5$.

Từ đây dẫn đến bộ nghiệm $(3,5,7)$

 

P/s: Mình không giỏi trình bày nên khá khó nhìn. Bài này không khó, và so với một bài số 5 trong kì thi IMO thì nó được xem là dễ.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Karl Heinrich Marx: 24-08-2015 - 22:34





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh