Cho $a<b$ và hàm số $f(x)$ có $f'(x)$ liên tục trên $R$ thỏa mãn:
$f(a)=f(b)=0$ và $\int_{a}^{b}\left | f'(x) \right |dx=m$
Chứng minh rằng $f(x)\leq \frac{m}{2}, \forall x\epsilon [a;b]$
$f(x)\leq \frac{m}{2}, \forall x\epsilon [a;b]$
#1
Đã gửi 23-08-2015 - 10:08
#2
Đã gửi 25-08-2015 - 06:42
Ta có
\[f\left( x \right) = \int\limits_0^x {{f^\prime }\left( x \right)dx} = - \int\limits_x^1 {{f^\prime }\left( x \right)dx} \Rightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {\int\limits_0^x {{f^\prime }\left( x \right)dx} } \right| = \left| {\int\limits_0^x {{f^\prime }\left( x \right)dx} } \right|\]
Nên
\[f\left( x \right) \leqslant \left| {f\left( x \right)} \right| \leqslant \frac{1}{2}\left[ {\left| {f\left( x \right)} \right| + \left| {f\left( x \right)} \right|} \right] \leqslant \frac{1}{2}\left[ {\left| {\int\limits_0^x {{f^\prime }\left( x \right)dx} } \right| + \left| { - \int\limits_x^1 {{f^\prime }\left( x \right)dx} } \right|} \right] \leqslant \frac{1}{2}\left[ {\int\limits_0^x {\left| {{f^\prime }\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_x^1 {\left| {{f^\prime }\left( x \right)} \right|dx} } \right] = \frac{m}{2}\]
Cần lắm một bờ vai nương tựa
#3
Đã gửi 26-08-2015 - 22:56
Ta có
\[f\left( x \right) = \int\limits_0^x {{f^\prime }\left( x \right)dx} = - \int\limits_x^1 {{f^\prime }\left( x \right)dx} \Rightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {\int\limits_0^x {{f^\prime }\left( x \right)dx} } \right| = \left| {\int\limits_0^x {{f^\prime }\left( x \right)dx} } \right|\]
Nên
\[f\left( x \right) \leqslant \left| {f\left( x \right)} \right| \leqslant \frac{1}{2}\left[ {\left| {f\left( x \right)} \right| + \left| {f\left( x \right)} \right|} \right] \leqslant \frac{1}{2}\left[ {\left| {\int\limits_0^x {{f^\prime }\left( x \right)dx} } \right| + \left| { - \int\limits_x^1 {{f^\prime }\left( x \right)dx} } \right|} \right] \leqslant \frac{1}{2}\left[ {\int\limits_0^x {\left| {{f^\prime }\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_x^1 {\left| {{f^\prime }\left( x \right)} \right|dx} } \right] = \frac{m}{2}\]
đề là $a,b$ mà , $0$ vs $1$ ở đâu ra vậy ??
#4
Đã gửi 27-08-2015 - 07:19
$a,b$ hay $0,1$ như nhau cả thôi gõ nhầm
Cần lắm một bờ vai nương tựa
#5
Đã gửi 31-08-2015 - 14:13
Trong bài giải trên có một số lỗi trình bày. Mình xin chỉnh lại như sau:
Ta có
\[f\left( x \right) = \int\limits_a^x {{f^\prime }\left( x \right)dx} = - \int\limits_x^b {{f^\prime }\left( x \right)dx} \Rightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {\int\limits_a^x {{f^\prime }\left( x \right)dx} } \right| = \left| {-\int\limits_x^b {{f^\prime }\left( x \right)dx} } \right|\]
Nên
\[f\left( x \right) \leqslant \left| {f\left( x \right)} \right| \leqslant \frac{1}{2}\left[ {\left| {f\left( x \right)} \right| + \left| {f\left( x \right)} \right|} \right] \leqslant \frac{1}{2}\left[ {\left| {\int\limits_a^x {{f^\prime }\left( x \right)dx} } \right| + \left| { - \int\limits_x^b {{f^\prime }\left( x \right)dx} } \right|} \right] \leqslant \frac{1}{2}\left[ {\int\limits_a^x {\left| {{f^\prime }\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_x^b {\left| {{f^\prime }\left( x \right)} \right|dx} } \right] = \frac{m}{2}\]
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tp, gt, kim văn hùng
Toán Đại cương →
Giải tích →
Giải phương trình vi phân: $2yy''=y+y'^2$Bắt đầu bởi tritanngo99, 07-04-2018 gt |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Tích phân - Nguyên hàm →
Tính tích phân $\int\limits_{1}^{2}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{3}}\text{d}x}$Bắt đầu bởi NAT, 28-03-2018 tichphan, tp |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=ab+bc+ca$Bắt đầu bởi ochucha, 28-09-2017 gt |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho hàm số đồng biếnBắt đầu bởi tritanngo99, 07-06-2017 gt |
|
|||
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
CMR tồn tại số tự nhiên $k$ thỏa mãn $A^k$ là ma trận đơn vịBắt đầu bởi 19kvh97, 19-11-2015 kim văn hùng, ma trận |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh