Chủ đề này có 4 trả lời

[19kvh97]

Cho $a<b$ và hàm số $f(x)$ có $f'(x)$ liên tục trên $R$ thỏa mãn:
$f(a)=f(b)=0$ và $\int_{a}^{b}\left | f'(x) \right |dx=m$
Chứng minh rằng $f(x)\leq \frac{m}{2}, \forall x\epsilon [a;b]$

[nthkhnimqt]

Ta có

\[f\left( x \right) = \int\limits_0^x {{f^\prime }\left( x \right)dx}  =  - \int\limits_x^1 {{f^\prime }\left( x \right)dx}  \Rightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {\int\limits_0^x {{f^\prime }\left( x \right)dx} } \right| = \left| {\int\limits_0^x {{f^\prime }\left( x \right)dx} } \right|\]

Nên

\[f\left( x \right) \leqslant \left| {f\left( x \right)} \right| \leqslant \frac{1}{2}\left[ {\left| {f\left( x \right)} \right| + \left| {f\left( x \right)} \right|} \right] \leqslant \frac{1}{2}\left[ {\left| {\int\limits_0^x {{f^\prime }\left( x \right)dx} } \right| + \left| { - \int\limits_x^1 {{f^\prime }\left( x \right)dx} } \right|} \right] \leqslant \frac{1}{2}\left[ {\int\limits_0^x {\left| {{f^\prime }\left( x \right)} \right|dx}  + \int\limits_x^1 {\left| {{f^\prime }\left( x \right)} \right|dx} } \right] = \frac{m}{2}\]

[19kvh97]

Ta có

\[f\left( x \right) = \int\limits_0^x {{f^\prime }\left( x \right)dx}  =  - \int\limits_x^1 {{f^\prime }\left( x \right)dx}  \Rightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {\int\limits_0^x {{f^\prime }\left( x \right)dx} } \right| = \left| {\int\limits_0^x {{f^\prime }\left( x \right)dx} } \right|\]

Nên

\[f\left( x \right) \leqslant \left| {f\left( x \right)} \right| \leqslant \frac{1}{2}\left[ {\left| {f\left( x \right)} \right| + \left| {f\left( x \right)} \right|} \right] \leqslant \frac{1}{2}\left[ {\left| {\int\limits_0^x {{f^\prime }\left( x \right)dx} } \right| + \left| { - \int\limits_x^1 {{f^\prime }\left( x \right)dx} } \right|} \right] \leqslant \frac{1}{2}\left[ {\int\limits_0^x {\left| {{f^\prime }\left( x \right)} \right|dx}  + \int\limits_x^1 {\left| {{f^\prime }\left( x \right)} \right|dx} } \right] = \frac{m}{2}\]

đề là $a,b$ mà , $0$ vs $1$ ở đâu ra vậy ??

[nthkhnimqt]

$a,b$ hay $0,1$ như nhau cả thôi    gõ nhầm 

[ToanCo]

Trong bài giải trên có một số lỗi trình bày. Mình xin chỉnh lại như sau:

 

Ta có

 

\[f\left( x \right) = \int\limits_a^x {{f^\prime }\left( x \right)dx}  =  - \int\limits_x^b {{f^\prime }\left( x \right)dx}  \Rightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {\int\limits_a^x {{f^\prime }\left( x \right)dx} } \right| = \left| {-\int\limits_x^b {{f^\prime }\left( x \right)dx} } \right|\]

 

Nên

 

\[f\left( x \right) \leqslant \left| {f\left( x \right)} \right| \leqslant \frac{1}{2}\left[ {\left| {f\left( x \right)} \right| + \left| {f\left( x \right)} \right|} \right] \leqslant \frac{1}{2}\left[ {\left| {\int\limits_a^x {{f^\prime }\left( x \right)dx} } \right| + \left| { - \int\limits_x^b {{f^\prime }\left( x \right)dx} } \right|} \right] \leqslant \frac{1}{2}\left[ {\int\limits_a^x {\left| {{f^\prime }\left( x \right)} \right|dx}  + \int\limits_x^b {\left| {{f^\prime }\left( x \right)} \right|dx} } \right] = \frac{m}{2}\]