Chủ đề này có 667 trả lời

[CaptainCuong]

Bài 65:Cho a,b,c là các số thực dương. chứng minh rằng

$\frac{2a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{2b^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{2c^{3}}{c^{2}+a^{2}}\geq a+b+c$

[CaptainCuong]

Bài 66:Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh rằng

$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+c^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

Bài 67:Cho $a,b,c,d> 0$. Chứng minh rằng$\frac{a+c}{a+b}+\frac{b+d}{b+c}+\frac{c+a}{c+d}+\frac{d+b}{d+a}\geq 4$

[Minhnguyenthe333]

Bài 66:Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh rằng
$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+c^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$
Bài 67:Cho $a,b,c,d> 0$. Chứng minh rằng$\frac{a+c}{a+b}+\frac{b+d}{b+c}+\frac{c+a}{c+d}+\frac{d+b}{d+a}\geq 4$

Bài 67:
BĐT$\Leftrightarrow (a+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d})+(b+d)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a})\geq \frac{4(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=4$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=d$

[royal1534]

Bài 65:Cho a,b,c là các số thực dương. chứng minh rằng

$\frac{2a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{2b^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{2c^{3}}{c^{2}+a^{2}}\geq a+b+c$

BĐT cần chứng minh$\Leftrightarrow \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}} \geq$ $\frac{a+b+c}{2}$

Áp dụng kĩ thuật CôSi ngược dấu ta có

$\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}=a-\frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}} \geq a-\frac{ab^{2}}{2ab}=a-\frac{b}{2}$

Xây dựng các bđt tương tự ta có

$\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}} \geq a+b+c-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}$

$\Rightarrow ĐPCM$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 30-08-2015 - 10:27

[Cuongpa]

Bài đầu,luyện cách xét dấu ấy mà   

Bài này dùng bđt cũng được:

 

Biến đổi thành $\left | x-1 \right |+\left | x+2 \right |=\left | 1-x \right |+\left | x+2 \right |\geq 3$

 

Dấu = xảy ra chính là nghiệm pt

[royal1534]

Bài 66:Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh rằng

$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+c^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

 

Áp dụng kĩ thuật CôSi ngược dấu ta có:

$\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}+ab}=a-\frac{ab(a+b)}{a^{2}+b^{2}+ab}\geq$ $a-\frac{ab(a+b)}{3ab}=a-\frac{a+b}{3}$

Xây dựng các bđt tương tự ta có:

$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+c^{2}}\geq a+b+c-\frac{2(a+b+c)}{3}=\frac{a+b+c}{3}$

[Dinh Xuan Hung]

Bài 66:Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh rằng

$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+c^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

 

$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\frac{a(a^2+ab+b^2)-ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}\geq a-\frac{ab(a+b)}{3ab}=a-\frac{a+b}{3}$

CMTT:$\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}\geq b-\frac{b+c}{3}$

$\frac{c^3}{c^2+ac+c^2}\geq c-\frac{a+c}{3}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$

[royal1534]

Bài 68:Cho $a,b,c>0 ,ab+bc+ca=1 $

Chứng minh $\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)} \geq \frac{9}{2}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 30-08-2015 - 10:30

[meomunsociu]

Bài 66:Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh rằng

A=$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+c^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

 

Ta có : $ab\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2}$ nên $a^{2}+ab+b^{2}\leq \frac{3}{2}(a^{2}+b^{2})$

=> $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{2}{3}(\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}})$

=> $A\geq \frac{2}{3}\Sigma (\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}})$

Cần c/m $\Sigma \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{2}$ (c/m tương tự bài 65 của royal1534)

=> đpcm

[Dinh Xuan Hung]

Bài 69:

 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left | \sqrt{x^2-4x+5}-\sqrt{x^2+6x+13} \right |$ 

Bài 70:

 

 

Cho trước số hữu tỉ m sao cho $\sqrt[3]{m}$ là số vô tỉ.Tìm các số hữu tỉ a,b,c sao cho $a\sqrt[3]{m^2}+b\sqrt[3]{m}+c=0$

[meomunsociu]

Bài 63:Cho $a,b,c\geq 1$ . Chứng minh rằng

$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\leq \sqrt{c(ab+1)}$

Bài này mình còn có cách khác 

Vận dụng BĐT C-S ta có : $(\sqrt{a-1}+1)(1+\sqrt{b-1})\geq (\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1})^{2}$

hay $(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1})^{2}\leq ab$

=> $\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\leq \sqrt{ab}$

Cần c/m : $\sqrt{ab}+\sqrt{c-1}\leq \sqrt{c(ab+1)}$ (cái này dùng BĐT C-S là ra ngay  )

=> ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi meomunsociu: 30-08-2015 - 10:50

[Dinh Xuan Hung]

Bài 68:Cho $a,b,c>0 ,ab+bc+ca=1 $

Chứng minh $\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)} \geq \frac{9}{2}$ 

$\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)}=\dfrac{\dfrac{c}{a}}{c(a+b)}+\frac{\dfrac{a}{b}}{a(b+c)}+\dfrac{\dfrac{b}{c}}{b(c+a)}\geq \frac{\left ( \sqrt{\dfrac{c}{a}}+\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{\dfrac{b}{c}} \right )^2}{2(ab+bc+ac)}\geq \frac{3^2}{2.1}=\frac{9}{2}$

[Dinh Xuan Hung]

Bài 71:

 

 

Với mọi số thực không âm a,b, c. Chứng minh

 $$\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{(c+b)^{2}}+\frac{1}{(a+c)^{2}}\geq \frac{9}{4(ab+bc+ca)}$$

[hoctrocuaHolmes]

Bài 68:Cho $a,b,c>0 ,ab+bc+ca=1 $

Chứng minh $\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)} \geq \frac{9}{2}$ 

Áp dụng Cauchy-Schwarz và AM-GM ta có

$VT= \sum \frac{\frac{c}{a}}{c(a+b)}\geq \frac{(\sqrt{\frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}})^{2}}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{3^{2}.\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}}{2}=\frac{9}{2}$

(chú ý gt $ab+bc+ca=1$)

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

[O0NgocDuy0O]

Bài này đặt ẩn cho dễ

Đặt $a=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

$\Rightarrow \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}=a^{2}-2$

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow a^{2}-2+4\geq 3a$

                   $\Leftrightarrow a^{2}-3a+2\geq 0$

                   $\Leftrightarrow (a-2)(a-1)\geq 0$(Đúng,Chú ý $a\geq 2$) 

Chứng minh bị lỗi do không thể kết luận $a\geq2$ bởi $x,y$ có thể âm.

Spoiler

Không lên có $2$ ngày mà nhộn gớm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 30-08-2015 - 11:21

[meomunsociu]

Áp dụng Cauchy-Schwarz và AM-GM ta có

$$VT= \sum \frac{\frac{c}{a}}{c(a+b)}\geq \frac{(\sqrt{\frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}})^{2}}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{3^{2}.\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}}{2}=\frac{9}{2}$$

(chú ý gt $ab+bc+ca=1$)

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Cho mình hỏi tại sao lại suy ra được như vậy nhỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi meomunsociu: 30-08-2015 - 11:25

[lethilinhchi]

Bài 19 cm f(x) chia hết g(x) với

      f(x) = (x²  + x  -1)²⁰¹²  - (x²  -x +1)²⁰¹⁰ -2 

     g(x) =x² - x

[hoctrocuaHolmes]

Cho mình hỏi tại sao lại suy ra được như vậy nhỉ

Do áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz nhé bạn 

Spoiler

Làm xong bài này mới biết anh Dinh Xuan Hung đã đăng   

[lethilinhchi]

cmr f(x) chia hết cho g(x) với

     f(x) = (x² +x-1)²⁰¹² - (x²  - x+1)²⁰¹⁰ -2

    g(x) =x² - x

[meomunsociu]

Do áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz nhé bạn 

Spoiler

Làm xong bài này mới biết anh Dinh Xuan Hung đã đăng   

ý mình là chỗ $(\sqrt{\frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}})^{2}\geq 3^{2}.\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi meomunsociu: 30-08-2015 - 11:38