Chủ đề này có 667 trả lời

[I Love MC]

bài này nữa  

cho x,y,z>o

1) biết x+y+z=3. c/m : x² + y² + z² + xyz $\geq$ 4

2) biết x+y+z=1. c/m : x³ + y³ + z³ + 6xyz $\geq$ 1/4

3) biết x+y+z=5 và xy + yz + xz = 8. tìm min, max của x,y,z.

Câu 1) đặt $x=1+a,y=1+b$ suy ra $z=1-a-b$ 
Thế vào ta có $VT=(1-a).b^2+(a-a^2).b+a^2+4$ 
Nếu $x>2$ thì ko còn gì để nói 
$a \le 1$ suy ra đpcm 

[I Love MC]

$x+y=5-z$ 
$xy=8-z(x+y)=8-z(5-z)=z^2-z.5+8$ 
$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=(x-y)^2+4xy=(5-z)^2 \ge 4(z^2-z.5+8)$ 
$\rightarrow \frac{7}{3} \ge z \ge 1$

[I Love MC]

Tặng Happylife 
Trên mặt phẳng cho $n$ đường thẳng đôi một ko song song và ko có $3$ đường thẳng nào đồng quy 
a) Tìm số miền mà $n$ đường thẳng này định ra trên mặt phẳng. 
b) Chứng minh rằng có thể tô mỗi miền trên bằng một màu xanh hoặc đỏ sao cho $2$ miền kế nhau thì khác màu.

[kuhaza]

giải pt: $x^{3}+(x+1)\sqrt{x+1}+2\sqrt{2}=(x+\sqrt{x+1}+\sqrt{2})^{3}$

[huy2403exo]

giải pt: $x^{3}+(x+1)\sqrt{x+1}+2\sqrt{2}=(x+\sqrt{x+1}+\sqrt{2})^{3}$

 

Đặt $\sqrt{x+1}=y$ và $\sqrt{2}=z$ phương trình đưa về dạng $x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3$ $\Leftrightarrow 3(x+y)(y+z)(z+x)=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huy2403exo: 30-12-2015 - 17:15

[kuhaza]

cho A= $1+(\frac{2x+\sqrt{x}-1}{1-x}-\frac{2x\sqrt{x}-\sqrt{x}+x}{1-x\sqrt{x}}).\frac{x-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-1}$

 tìm x để A = $\frac{6-\sqrt{6}}{5}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kuhaza: 30-12-2015 - 20:52

[nqt123]

.Cho các số dương thỏa mãn đẳng thức :$2.\left ( a^{4} +b^{4}+c^{4}\right )< \left ( a^{2} +b^{2}+c^{2}\right )^{2}$

      Cm tồn tại $\Delta ABC$ nhận  a,b,c là độ dài 3 cạnh

[meomunsociu]

.Cho các số dương thỏa mãn đẳng thức :$2.\left ( a^{4} +b^{4}+c^{4}\right )< \left ( a^{2} +b^{2}+c^{2}\right )^{2}$

      Cm tồn tại $\Delta ABC$ nhận  a,b,c là độ dài 3 cạnh

Ta có: $2(a^4+b^4+c^4)<(a^2+b^2+c^2)^2$

$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2<0$

$\Leftrightarrow (a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2<0$

$\Leftrightarrow a^2-b^2-c^2<2bc \Leftrightarrow a^2<(b+c)^2$

$\Leftrightarrow$ $a< b+c$ (BĐT trong tam giác)

=> ĐPCM

[PlanBbyFESN]

.Cho các số dương thỏa mãn đẳng thức :$2.\left ( a^{4} +b^{4}+c^{4}\right )< \left ( a^{2} +b^{2}+c^{2}\right )^{2}$

      Cm tồn tại $\Delta ABC$ nhận  a,b,c là độ dài 3 cạnh

 

Ta có: $2(a^4+b^4+c^4)<(a^2+b^2+c^2)^2$

$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2<0$

$\Leftrightarrow (a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2<0$

$\Leftrightarrow a^2-b^2-c^2<2bc \Leftrightarrow a^2<(b+c)^2$

$\Leftrightarrow$ $a< b+c$ (BĐT trong tam giác)

=> ĐPCM

Thiếu nha T:

$(\sum a^{2})^{2}-4b^{2}c^{2}\doteq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)> 0$

Xét trường hợp rồi mới suy ra được bất đẳng thức trong tam giác (đpcm)

P/S: Thực ra bài này rút ra từ:

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn điều kiện: $a^{4}+b^{4}+c^{4}\leq 2\left ( a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} \right )$.Chứng minh rằng:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2\left ( a+bc+ca \right )$

Đóng góp:

1) Cho x,y,z dương thỏa mãn: $\sum x^{2}\doteq xyz.$ Hãy chứng minh:

a) $xyz\geq 27$

b) $x+y+z\geq 9$

c) $\sum xy\geq 2(\sum x) + 9$

2)Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác thỏa mãn: $\sum a=1$. C/M rằng:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+4abc\leq \frac{1}{2}$

[meomunsociu]

1) Cho x,y,z dương thỏa mãn: $\sum x^{2}\doteq xyz.$ Hãy chứng minh:

a) $xyz\geq 27$

b) $x+y+z\geq 9$

c) $\sum xy\geq 2(\sum x) + 9$

2)Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác thỏa mãn: $\sum a=1$. C/M rằng:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+4abc\leq \frac{1}{2}$

1. a) Ta có: $xyz=x^2+y^2+z^2\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2} \Leftrightarrow (xyz)^3\geq 27.(xyz)^2 \Rightarrow xyz\geq 27$

    b) $x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\geq 3\sqrt[3]{27}=9$

[Thien Chi Hac]

Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định và đường kính CD thay đổi không trùng với AB. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF.

1) Gọi H là trực tâm của tam giác BPQ. Chứng minh H là trung điểm của OA;

2) Xác định vị trí của đường kính CD để tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất.

Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC không cân có tâm đường tròn nội tiếp là điểm I. Đường thẳng  AI cắt BC tại D. Gọi E,F lần lượt là các điểm đối xứng của D qua IC,IB.

1)              Chứng minh rằng EF song song với BC.

2)              Gọi M,N,J lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng  DE,DF,EF. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AFN  tại P khác A. Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,J cùng nằm trên một đường tròn.

3)              Chứng minh rằng ba điểm A,J,P thẳng hàng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thien Chi Hac: 03-01-2016 - 14:11

[nqt123]

nhân liên hợp => hệ => x = -y => x + y = 0

bạn nói rõ hơn được không .thank trước

[tran2b7i0n3h]

Với x,y >0 tm x>=2y

          Tìm Min của M=$\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}$

[Royal Sky]

Với x,y >0 tm x>=2y

          Tìm Min của M=$\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}$

 

M=$\frac{x^{2}+4y^{2}}{xy} -\frac{3y^{2}}{xy}$$\geq \frac{4xy}{xy}-\frac{3/2x}{x}=5/2$

Dấu "=" khi x=2y

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Royal Sky: 17-02-2016 - 21:07

[tran2b7i0n3h]

cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh lần lượt là a,b,c sao cho a>=b>=c

                  Chứng minh 9ab>=(a+b+c)^2

[tran2b7i0n3h]

 

 

M=$\frac{x^{2}+4y^{2}}{xy} -\frac{3y^{2}}{xy}$$\geq \frac{4xy}{xy}-\frac{3/2x}{x}=5/2$

Dấu "=" khi x=2y

 

Từ x>=2y => $x^{2}\geq 4y^{2}$ luôn cho nhanh

[Minh Hieu Hoang]

top pic sôi động vào đi dạo này gần thi rùi 

[ducthang0701]

Chơi ké nữa.

+ Nếu tam giác ABC cân tại A thì $MT\equiv AD$

+ Xét trường hợp tam giác ABC không cân tại A.

Ta có: $\dfrac{BU}{BM}=\dfrac{BD}{BA}=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{CV}{CM} \rightarrow BU=CV$

Lấy $U', B'$ đối xứng $U,B$ qua $AD; UU' \cap AD=E; BB' \cap AD=F$ 

Từ đó dễ chứng minh được tứ giác $ETMD$ là hình bình hành $\Rightarrow MT||AD$

cho mình hỏi tai sao được BU/BM=BD/BA

[ducthang0701]

Nhận thấy dấu $"="$ xảy ra tại $a=b=\frac{1}{\sqrt[4]{5}}$ và $c =\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt[4]{5}}$

 nên ta sẽ đặt $\frac{1}{\sqrt[4]{5}} =x$ và $\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt[4]{5}} =y$ 

Ta sẽ tính được $x^2 =xy +y^2$

 Ta có: $xy(a^2+b^2) \geq 2xyab$ với mọi $a,b$

Tương tự, ta cũng có: $y^2a^2+x^2c^2 \geq 2xyac$

                                    $y^2b^2+x^2c^2 \geq 2xyac$

$\Rightarrow 2xy(ab+bc+ca) \leq a^2(xy+y^2) +b^2(xy+y^2) +2c^2x^2 =(a^2+b^2+2c^2)(xy+y^2)$

$\Rightarrow a^2+b^2+2c^2 \geq \frac{2xy}{xy+y^2}$ (do $ab+bc+ca =1$)

 Đến đây bấm máy tính là ra.

có cách nào đơn giản hơn k nhỉ

[the unknown]

     Cho $\Delta ABC$ nhọn có trực tâm $H$ và hai đường cao $AD,BE$. Gọi $M,N$ tương ứng là trung điểm hai đoạn $AB,DE$. Đường thẳng $CM$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDE$ tại điểm $P$ khác $C$. Đường thẳng $CN$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại điểm $Q$ khác $C$.

    Tìm trung trực của $PQ$.

                     ~ Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Đồng Nai ~