Chủ đề này có 667 trả lời

[gianglqd]

Hình như anh quên một điều kiện rất quan trọng $x-y<0,5$

Em vẫn chưa hiểu cách của anh lắm.

 

CÁCH KHÁC:

 

Chia các dãy só của tập $X$ thành 44 đoạn có dạng $\left [ k;\sqrt{(k+1)^2-1} \right ]$: $\left [ 1;\sqrt{3} \right ]$;...; $\left [ \sqrt{1936};\sqrt{2015} \right ]$

Theo nguyên lý $Dirichlet$, trọng tập $X$ tồn tại ít nhất $3$ số $x,y,z$ cùng thuộc một đoạn bất kỳ $\left [ k;\sqrt{(k+1)^2-1} \right ]$

Khi đó tồn tại hai số trong ba số $x,y,z$ thuộc một trong hai đoạn $\left [ k;\sqrt{(k)^2+k} \right ]$; $\left [\sqrt{k^2+k};\sqrt{(k+1)^2-1} \right ]$

Không mất tính tổng quát, giả sử $x>y$

Ta xét hai trường hợp nếu $x,y$ thuộc đoạn $\left [ k;\sqrt{(k)^2+k} \right ]$ và nếu $x,y$ thuộc đoạn $\left [ k;\sqrt{(k)^2+k} \right ]$ sẽ suy ra điều phải chứng minh. ( Cần sử dụng biểu thức liên hợp.) 

Dể hiểu mà khi có 2 phần tử thuộc cùng 1 khoảng mà khoảng cách của các khoảng là 0,5 nên hiệu củ 2 phần tử đó <0,5

Còn chỗ nào không hiểu cứ hỏi

[nloan2k1]

Dể hiểu mà khi có 2 phần tử thuộc cùng 1 khoảng mà khoảng cách của các khoảng là 0,5 nên hiệu củ 2 phần tử đó <0,5

Còn chỗ nào không hiểu cứ hỏi

Vậy quy luật của cách chia kia là gì hả anh? 

[gianglqd]

các khoảng là (1;1,5),.... cách nhau 0,5 hết 

[gianglqd]

Vậy quy luật của cách chia kia là gì hả anh? 

1,5-1=0,5

2-1,5=0,5

2,5-2=0,5

.........

45-44,5=0,5

[Namthemaster1234]

Anh cũng đóng góp 1 bài năm nay Topic này sôi nổi quá (Lên lớp 10 ít on nên không đóng góp cho Topic được nhiều)

 
Bài 49: Viết lại $P=10+48(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x+10}}+\frac{1}{\sqrt[3]{10-x}})$

 

Chú ý rằng: $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x+10}}= \frac{6}{\sqrt{(x+10)12}}\geq \frac{12}{x+22}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{10-x}}=\frac{4}{\sqrt[3]{(10-x)64}}\geq \frac{12}{26-x}$

 

$P \geq 10+48( \frac{12}{x+22}+\frac{12}{26-x})=58+48\frac{(x-2)^2}{(26-x)(x+22)} \geq 58$

 

Vậy $minP=58$ . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $x=2$ và $y+z=8$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 29-08-2015 - 21:13

[nloan2k1]

1,5-1=0,5

2-1,5=0,5

2,5-2=0,5

.........

45-44,5=0,5

Lưu ý thêm, $1,5$ hay $2,5$ hay các số khác đều không thuộc tập $X$.

[gianglqd]

Lưu ý thêm, $1,5$ hay $2,5$ hay các số khác đều không thuộc tập $X$.

Không nhất thiết là phải thuộc tập hợp đó em à 

Chỉ cần các đoạn cách nhau 0,5 

Giá trị bắt đầu là 1$\leq$$\sqrt{1}$, 

giá trị cuối 45$\geq \sqrt{2015}$

Khi đó có 2 giá trị sẽ nằm cùng 1 đoạn không nhất thiết bằng và có hiệu nhỏ hơn 0,5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gianglqd: 29-08-2015 - 21:09

[nloan2k1]

Không nhất thiết là phải thuộc tập hợp đó em à 

Chỉ cần các đoạn cách nhau 0,5 

Giá trị bắt đầu là 1$\leq$$\sqrt{1}$, 

giá trị cuối 45$\geq \sqrt{2015}$

Khi đó có 2 giá trị sẽ nằm cùng 1 đoạn không nhất thiết bằng và có hiệu nhỏ hơn 0,5

Đề bài cho tập $X$ và yêu cầu chứng minh trong tập $X$ luôn tồn tại hai số $x,y$ sao cho $x-y<0,5$ mà anh. 

Không thì tự nhiên người ta cho tập $X$ để???!!!

[Quoc Tuan Qbdh]

 

Bài 51:Chứng minh tồn tại một $bội$ $số$ của $2003$ có dạng: $20042004...2004$

 

Xét dãy số gồm $2004$ số khác nhau : $2004;20042004;.....;200420042004......2004$

Theo nguyên lý $Direchlet$ thì trong dãy có ít nhất $2$ số có cùng số dư khi chia cho $2003$

Gọi 2 số đó là $a$ và $b$ với số chữ số $2004$ lần lượt là $m;n$ ($m>n$)

Nên $a-b \vdots 2003$ Hay $2004...2004*10^{4n} \vdots 2003$ ( $m-n$ số $2004$ )

Mà $(10^{4n};2003)=1$ và $2003$ là số nguyên tố nên $2004...2004 \vdots 2003$ ( $m-n$ số $2004$ )

[CaptainCuong]

Bài 55:Gọi a,b,c lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2

 Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc< 2$

Bài 56:Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi x,y là các số thực khác  0

 $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}+4\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$

Bài 57:Cho 3 số không âm thỏa mãn a+b+c=1

Chứng minh rằng $b+c\geq 16abc$

[mam1101]

Bài 58: Quan hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu trong tam giác vuông

Cho hinh thoi ABCD , $\widehat{A}$ = 120 độ.

Tia Ax tạo với tia AB góc $\widehat{ABx} = 15 độ$ và cắt BC tại E cắt CD tại F.

Cmr $\frac{1}{AE^{2}} + \frac{1}{AF^{2}} = \frac{4}{3AB^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mam1101: 29-08-2015 - 21:13

[gianglqd]

Đề bài cho tập $X$ và yêu cầu chứng minh trong tập $X$ luôn tồn tại hai số $x,y$ sao cho $x-y<0,5$ mà anh. 

Không thì tự nhiên người ta cho tập $X$ để???!!!

Em vẫn không hiểu ư 

Chỉ cần 2 cái giá trị trong mấy cái căn của em lọt vào 1 đoạn của anh ví dụ$\sqrt{1}$ và $\sqrt{2}$ cùng thuộc (1;1,5) dù nó không bằng thì hiệu của nó vẫn nhỏ hơn 0,5

[Dinh Xuan Hung]

 
Bài 49: Viết lại $P=10+48(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x+10}}+\frac{1}{\sqrt[3]{10-x}})$

 

Chú ý rằng: $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x+10}}= \frac{6}{\sqrt{(x+10)12}}\geq \frac{12}{x+22}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{10-x}}=\frac{4}{\sqrt[3]{(10-x)64}}\geq \frac{12}{26-x}$

 

$P \geq 10+48( \frac{12}{x+22}+\frac{12}{26-x})=58+48\frac{(x-2)^2}{(26-x)(x+22)} \geq 58$

 

Vậy $minP=58$ . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $x=2$ và $y+z=8$

Chà cách em khá là hay đấy

Cách khác:

Áp dụng BĐT $AM-GM$:

$x+10+\frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{x+10}}+\frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{x+10}}\geq 36\Leftrightarrow x+\frac{48\sqrt{3}}{\sqrt{x+10}}\geq 26$

$y+z+\frac{16}{\sqrt[3]{y+z}}+\frac{16}{\sqrt[3]{y+z}}+\frac{16}{\sqrt[3]{y+z}}\geq 32\Leftrightarrow y+z+\frac{48}{\sqrt[3]{y+z}}\geq 32$

$\Rightarrow x+y+z+48\left ( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x+10}}+\frac{1}{\sqrt[3]{y+z}} \right )\geq 26+32=58$

Dấu bằng xảy ra khi $x=2$;$y=3$;$z=5$ thỏa mãn giả thiết và dấu bằng xảy ra

[Namthemaster1234]

Bài 57: $16abc\leq4(b+c)^2.a=4(1-a)^2.a\leq 1-a\Leftrightarrow (1-a)(1-2a)^2\leq0$ Luôn đúng do $x<1$

[mam1101]

Bài 57: 

BĐT cần c/m tương đương với (b + c)(a + b + c)² $\geq  16abc$

Áp dụng BĐT Cauchy dạng (a + b)² $\geq $ 4ab

$\Rightarrow$ VT $\geq $ 4a(b + c)²$\geq $  16abc

[Quoc Tuan Qbdh]

Bài 55:Gọi a,b,c lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2

 Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc< 2$

 

Áp dụng BĐT tam giác thì $a<b+c->2a<2->a<1$ Tương tự $b<1$ $c<1$

Nên $(1-a)(1-b)(1-c)>0$

Hay : $1-abc+ab+bc+ca-a-b-c>0$

$<=>-2>-2ab-2bc-2ca+2abc$

$<=>(a+b+c)^{2}-2>a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc$

$<=>2>a^{2}+b^{2}+c^{2}$

[nloan2k1]

Em vẫn không hiểu ư 

Chỉ cần 2 cái giá trị trong mấy cái căn của em lọt vào 1 đoạn của anh ví dụ$\sqrt{1}$ và $\sqrt{2}$ cùng thuộc (1;1,5) dù nó không bằng thì hiệu của nó vẫn nhỏ hơn 0,5

Anh cho em ví dụ một trường hợp nó ''lọt'' vào được không?!

Lưu ý thêm một điểm nữa, đề bài yêu cầu lấy trong $90$ SỐ KHÁC NHAU TÙY Ý ĐƯỢC LẤY RA TỪ TẬP $X$

[mam1101]

Bài 56:

$\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1 \geq 2\frac{x}{y}; \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 \geq 2\frac{y}{x}$

Mà $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} -2 \geq 0 $.

Cộng 3 BĐT trên ta có đpcm

[Namthemaster1234]

Bài 55:Gọi a,b,c lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2

 Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc< 2$

Bài 56:Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi x,y là các số thực khác  0

 $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}+4\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$

Bài 57:Cho 3 số không âm thỏa mãn a+b+c=1

Chứng minh rằng $b+c\geq 16abc$

Bài 55 : $a^2+b^2+c^2+2abc \leq 2ab+2ac+2bc+2abc =2(a+1)(b+1)(c+1)-2(a+b+c)-2 \leq 2 (\frac{a+b+c+3}{3})^3-2(a+b+c)-2 <2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 29-08-2015 - 21:26

[olympiachapcanhuocmo]

Bài 55 : Giải phương trình :   a) $5\sqrt{\frac{2x^{2}+1}{5x-2}}\doteq \frac{2x^{2}+13}{4x-1}$

                                               b)$\sqrt{x+\frac{5}{x}}\doteq \frac{x^{2}+9}{x+4}$

                                               c)$x^{3}-x^{2}-x\doteq \frac{1}{3}$

 

Bài 56 : Cho a,b,c là các số thực dương

             Chứng minh rằng :

                                     $\sum \frac{1}{a\sqrt{a+b}}\geq \frac{3}{\sqrt{2abc}}$

 

Bài 57 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

                                                                                $x(x+7)\doteq y^{3}-1$